> Категория Энциклопедический словарь Железнова, страница 148
Энциклопедический словарь Железнова, страница 148
Георги, Иоанн Готлиб, проф. минералогии при Спб. академии паук, родился в Померании; в 1768 — 70 гг. сопутствовал Палласу и Фальку в их учен. экспедициях; с 1770 до 74 г. путешествовал самостоятельно и объездил значит. часть Бвроп. и азиатск. России. Г. издал на нем. языке сочинения, перевед. на русс. под заглавием: „Описание всех в Росс. государстве обитающих народовъ“, „Описание столичн. гор. С.-Петербурга“. В 1797—1802 гг. вышло на нем. яз. в Кенигсберге наиболее важное из его сочинений „Geogra-phisch - physikalische und naturhisto-rische Beschreibung des Russ. Reiches“ (9 tt.),—первая научная география России. Ум. в 1802 г. По его имени назв. вывез. из Мексики растение—георгина.
Георгина, Dahlia, род из сем. сложноцветных, многолетния растения с большими, иногда шаровидными корзинками цветов и сплющенными семянками; 9 американских видов. Дикие сорта имеют цветки в корзинке двоякого рода: краевые—язычковые, бесплодные, и срединные—трубчатые, плодущие. В культуре очень часто срединные цветки превращаются в язычковые, вследствие чего корзинка значительно увеличивается и делается почти шаровидной {махровия Г.), а вместе с тем сильно варьирует и окраска. D. imperialis, до 3 саж. высоты, с сложными листьями и белыми краевыми и желтыми срединными цветками. D. variabilis, с простыми листьями, родом из Мексики, ввезена в Европу в Конце ХВПИ ст., разводится во множестве разновидностей; цветет в конце лета и осенью. Клубневидные корни, которыми только и размножаются махровия Г., весьма богаты углеводом инулином, близким к крахмалу. М. Н.
Георгиевские монастыри 1) Г м в Киеве
Георгиевские монастыри, 1) Г. м. в Киеве, один из древнейших м., основан в 1037 г. В 1674 г. на его месте построена дерев. церковь во имя св. Георгия, которую в царствование Елизаветы за ветхостью заменили каменной. 2) Г. м., один из древнейш. в Крыму, на высоком берегу моря, в 12 вер. от Севастополя, основан в 891 г. С него открывается чудный вид на море.
Георгиевский, Александр Иванович, родился в 1830 г., вскоре по оконч. курса в москов. универс. получил кафедру всеобщ. истор. в Ришельевском лицее, в 1866 г. был назначен редактором „Журнала Мин. Нар. Пр.“, с 1873 до 1901 г. был председателем ученого комитета. Г. был деятельнейшим сотрудником гр. Толстого по введению классической си-
Основные идеи геометрии.
I. Содержание элементарной Г.
Классическая Г. сложилась еще в древности, и дальнейшее ея развитие заключалось, главным образом, в дополнениях второстепенного значения и в разработке связывающих материал логических концепции. Что касается самого материала, то содержание обычного курса влемептарной Г. в средней школе мы предполагаем здесь известным. Мы здесь сделаем лишь сводку, которая даст возможность обозреть основные идеи и категории в связной концепции, а затем ознакомим читателя с основными задачами и идеями тех отделов, которые выходят из рамок строго влемеитарной Г.
1. В первую очередь, через всю Г. проходит классификация геометрических образов и выделение тех из них, которые, но своему значению в теории и приложениях, подлежат особому изучению. Первое подразделение заключается в классификации образов по числу измерений: они делятся на образы, не имеющие измерения (точки), образы одного измерения (линии), двух измерений (поверхности), трех измерений (тела). Однако, точное определение того, что, собственно, такое эти измерения, иредставляеть большия затруднения. В аналитической и во всяком случае в метрической Г. (смотрите ниже) это нужно понимать так, что на образе одпого измерения положение точки определяется одпим данным (ея расстоянием от некоторой определенной точки), па двумерном образе—двумя данными (например, .на плоскости ея расстояниями от двух неподвижных прямых), на трехмерном—тремя данными. Но, с одной стороны, чисто геометрического признака, свободного от всяких измерительных приемов, мы для этой цели не имеем; с другей стороны, в настоящее время придумапы, хотя и весьма искусственные, но все же вполне действительные способы определять положение точки на двумерном или трехмерном образе (например, на плоскости или в пространстве) одним заданием.
Из одномерных образов важнейшее значение имеет прямая. Определение прямой линии также представляет большия трудности, и большинство авторов относит это понятие к числу основных. С его помощью строится уже понятие об основном двумерном образе— плоскости. Вместе с тем все одномерные образы делятся на прямолинейные и криволинейные, все двумерные—на плоские и кривые. Учение об одномерных образах называли прежде лонгимепгриегг, нужно, однако, сказать, что классическая Г. таковой почти не знала, так как ни одна линия не изучалась независимо от поверхности, па которой она расположена. Учение о плоскости и образах, в ней расположенных, составляет планиметрию, учение об образах трехмерных—стереометрию. Важнейшие из планиметрических образов, помимо прямых, это углы и так называемия плоские фигуры, т. е. части плоскости, ограниченные со всех сторон линиями. В первую очередь, изучаются прямолинейные фигуры, т. е. фигуры, ограниченные прямыми линиями, и прежде всего простейшия из них—треугольники и четырехугольники. Из кривых линий преобладающее зпачение имеет окружность. „Начала“ Евклида не рассматривают вовсе никаких другпх кривых линий; но классическая Г., как мы видели (XIII, 327), знала еще конические сечения и некоторые кривия другого вида, о которых скажем ниже.
Из образов трехмерных классическая Г. рассматривает двугранные и многогранные углы и так называемия геометрические тела, т. е. части пространства, ограниченные поверхностями со всех сторон. Важнейшия тела, которые изучает элементарная Г., это многогранники, то есть тела, ограниченные плоскостями, и тела вращения, получающияся путем вращения плоской фигуры вокруг неподвижной прямой (шар, цн-липдр, конус). Такова в важнейших чертах общая классификация геометрических образов, принятая в классической и ныне в элементарной Г.
2. Расположение точек на геометрическом образе. На каждом образе, в перзую очередь, устанавливаются действующия в нем нормы расположения точек. Относящийся сюда геометрический материал заключается в теоретическом обосновании понятий „между“, „с одной стороны“ и „с другой стороны“, „внутри“ и „вне“. Древняя Г. оперировала всеми этими понятиями чисто интуитивно: по в настоящее время они устанавливаются и развиваются строго логически. Чтобы выяснить, в чем заключается содержание относящихся сюда рассуждений, остановимся на двух примерах. Во-первых, разберем деление плоскости прямою линией. Задача заключается здесь в том, чтобы установить следующее: если па плоскости дана прямая, то все остальные точки этой плоскости могут быть одним и только одним способом распределены в две категории таким образом, что прямолинейный отрезок, соединяющий две точки одной и той жф категории, не встречает делящей прямой; всякий же отрезок, соединяющий две точки различных категорий, встречает эту прямую; эти две категории точек и составляют две стороны плоскости относительно прямой. Другой пример, деление плоскости замкнутой ломаной линией, заключается в следующем; все точки плоскости, этой ломапой не принадлежащия, распадаются на две категории; прямолинейные лучи, выходящие из точек первой котегорип и не проходящие через вершины ломаной, пересекают эту ломаную не-чотпоо число раз; лучи, выходящие из точек второй категории, пересекают ломапую четное число раз; точки первой категории называются внутренними, точки второй категории—внешпими; всякие две внутренния точки или две внешпия могут быть соединены ломаной линией, не встречающей периферии; внутренняя же точка с впешней такой ломаной не может быть соединена.
Развитие учения о расположении точек геометрического образа заключается в установлении частпых критериев, дающих возможность в отдельных случаях установить непосредственно, лежат ли те или ипия точки внутри образа, на его периферии или вне его. Так, например, если мы соедипнм две точки, лежащия на разпых сторонах угла, то все внутренния точки соединяющого отрезка лежат внутри угла; все же точки, лежащия на продолжениях этого отрезка, лежат вне угла. Если мы соединим две внутренния точки выпуклого многоугольника, то соединяющий их отрезок лежит целиком внутри многоугольника. Такого рода предложения совершенно необходимы, когда ыы желаем действительно установить, где лежит та или иная точка; например, в каком случае центр описанной около многоугольника окружности лежит внутри многоугольника, па его периферии или вне его. Совокупность всех этого рода предложений составляет учение о расположении.
3. Учение об инцидентности. Сюда относится все то, что касается общих точек геометрических образов: условия, при которых точка лежит па данном образе, условия пересечения данных образов (прямых, прямых с кривыми, прямых с плоскостями и др. поверхностями и тому подобное.), определение числа общих точек и их расположения, условия касания линий и поверхностей, условия схождения нескольких линий в одной точке и нескольких поверхностей по одной линии. Существует обширная дисциплина, которая занимается только вопросами инцидентности; это — Analysis situs. Приведем примеры иредложений элементарной Г., относящиеся к учению об инцидентности: прямая, имеющая с плоскостью две общия точки, лежит в пей целиком; две плоскости либо вовсе не имеют общих точек, либо имеют общую прямую; из каждой точки, лежащей в плоскости круга вне его, можно провести две касательные к окружности круга, и так далее
4. Учение о геометрическом соответствии заключается в том, что каждой точке одного образа отпосяг некоторую точку другого образа в качестве соответствующей ей. Выбор точки, соответствующей данной, можно осуществлять, конечно, многообразно; этим определяется характер соответствия. Элементарная Г. изучает, главным образом, двоякого рода соответствие: конгруэнтность и подобие. Конгруэнтность представляет собой такого рода соответствие двух образов, при котором онп могут быть посредством движения приведены в совмещение таким образом, чтобы соответствующия точки совпали; в конгруэнтных образах расстояние двух точек всегда равпо расстоянию соответствующих точек другого образа. Под подобием разумеют такое соответствие двух образов, при котором расстояние любых двух точек первого образа пропорционально расстоянию соответственных точек второго; иначе говоря, если А и В суть две точки одного образа, А и В> соответствующия точки другого, то при подобии отношение АВ: А1 В1 есть величина постоянная, т. е. пф зависит от выбора точек А и В. Учение о конгруэнтности и подобии образов в элементарной Г. заключается в установлении условий, при которых образы конгруэнтны нлп подобны, в разыскании соответствующих точек двух таких образов и в установлении между образами соотношений, проистекающих из их конгруэнтности или подобия. Конгруэнтность и подобие принадлежат, однако, к числу так называемых метрических соответствии, т. е. таких, которые устанавлииаются помощью понятий о равенстве и неравенстве, о численном значении отношения—вообще помощью понятия о величине. Существуют, однако, соответствия, которые устанавливаются чисто геометрическими методами, чуждыми всякой идее о величине. Приведем простой пример. Положим, что нам даны две плоскости Р и Р/ и некоторая точка О вне их. Пусть А будет произвольная точка первой плоскости; соединяя ее с точкой О, получаем прямую ОА, которая пересекает вторую плоскость в некоторой точке А; эту последнюю принимаем зии соответствующую точке А
первой плоскости. Таким путем каждой точке первой плоскости мы относим в качестве соответствующей ей некоторую точку второй плоскости; по это соответствие устанавливается чисто геометрически, без помощи понятия о величине, о равенстве и перавепстве; это соответствие неметрического характера. Метод, которым устанавливается это соответствие, называется центральной проекцией или, правильнее, проектированием из центра О, а самое соответствие двух плоскостей называется перспективным (смотрите отдел VIII).
Весь тот геометрический материал, который относится только к учению о расположении, об инцидентности, и о соответствии неметрического характера, составляет Г. положения в противоположность метрической Г.
5. Метрика играла в античной Г. второстепенную роль, но в современной элементарной Г. она имеет преобладающее значение. Под метрикой разумеют учение о геометрических образах с точки зрения их величины. Задача метрической Г. заключается, во-первых, в том, чтобы установить для каждой геометрической величины критерии сравнения, то есть установить, при каких условиях мы считаем одно из двух значений величины равным другому, больше или меньше его,—а Ео-вторых, в измерении величины. Измерить величину значит выразить каждое значение этой величины числом, то есть каждому значению величины отнести число; это должно быть сделано таким образом, чтобы конгруэнтным значениям ея были отнесены одинаковия числа, а значению, составленному из нескольких других ея зпачепий, отвечало число, равное сумме чисел, отнесенных составляющим образам. Так., например, установить измерение площадей значит выразить всякую площадь числом, т. е. каждой площади отнести число следующим образом: I) конгруэптпым площадям должны быть отнесены одинаковия числа; 2) число, отнесенное площади, которая составлена из нескольких площадей, должно быть равно сумме чисел, отнесенных составляющим площадям. Чтобы этого достигнуть, оказывается необходимым и достаточным каждому значению величины отнести число, равное отношению этого значения к некоторому определенному“ условно выбранному зпачепию той же величины (к единице меры). Вледствис этого, главная задача метрики в Г. заключается в следующем: а) в установлении критериев сравнения значений одной и той же величины; Ь) в определении отношения одного значения величины к любому другому значению той же величны; с)в выражении отношения более сложных величин через отношения более простых величин. Последний пункт играет особенно важную роль: некоторые авторы всю задачу метрики усматривают в том, чтобы заменить отношения площадей и объёмов отношениями длин или комбинациями этих отношений. Чтобы найти, например, отношепие площади треугольника к площади квадрата, достаточно найти отношения основания и высоты треугольника к стороне квадрата и взять половину произведения полученных таким образом чисел.
Классификация геометрических образов, учения о расположении, об ннцпдепции, о соответствии и метрика— таковы категории, з которые укладывается все содержание элементарной Г. Содержание материала, входящого в состав этих категорий, мы считаем известным читателю настоящей статьи.
Фигура 1.
II. Конические сечения.
Кроме того материала, который в настоящее время составляет так называемую элементарную Г., в состав классической Г. входит учение о копиче-ских сечениях, составлявшее у древних венец и высшее достояние Г. Как греки пришли к этим замечательным кривым, мы в точности до этих пор не знаем. Прокл приписывает открытие их, как мы уже упомянули выше, Менэхму, учеппку Платона, который пришел к ним при своих попытках решить зпаменптую задачу об удвоении куба. Разыскание геометрических мест на плоскости, то есть тех линий, па которых лежат точки, обладающия определенными свойствами, составляло одну из наиоолее излюбленных задач греческих геометров. Такого рода задачи иногда ставились сами по себе, иногда возникали попутно, при решении задач на построение. В большинстве случаев геометрические места, которые разыскивали древние, сводились к прямой и к окружписывается открытие связи между этими геометрическими местами ц конусом, то есть определение этих кривых, как конических сечений. Основпая идея здесь заключается в том, что при пересечении конических поверхностей плоскостью получаются кривия трех различпых типов. Самия секущия плоскости геометры до Аполлония проводили всегда перпендикулярно к образующей конуса. Если копус остроугольный, то есть имеет при вершине острый угол, то в сечения с плоскостью (как мы сказали, перпендикулярной к образующей) получается замкнутая кривая — эллипс (фигура 1). Если конус тупоугольный, то сечепиф представляет собою разомкнутую фигуру (фигура 2), ветви которой уходят в безконечность; это—гипербола. Наконец, в прямоугольном конусе (то естьс прямым углом при вершине) секущая плоскость, перпендикулярная к | одпой образующей, всегда оказывается параллельной I некоторой другой образующей; сечение и в этомпости; но более серьезные задания приводили к более сложным кривым; из этих более сложных кривых
Фигура 4.
самыми замечательными и в то же время наиболее простыми оказались конические сечепия. Почему изучение этих кривых является естественным и прямым развитием материала элементарной Г., мы увидим ниже в отделе IV“; здесь же мы заметим только, что каждый из последующих отделов как бы роковым образом с различных точек зрения приводит к этим замечательным трем кривым.
Итак, греки открыли конические сечепия, как определенного рода геометрические места, независимо от конуса. Молодому современнику Менэхыа—Арпстей — прислучае оказывается разомкнутой кривой, которая загибается, однако, гораздо медленнее, пежели гипербола (фигура 3); эта кривая называется параболой.
Однако, как мы сказали, греки не этим путем пришли к открытью конических сечении; они нашли их другим путем, как плоские геометрические места. До Аполлония наиболее обычный путь, которым определялись эти три кривыя, заключался в следующем. Если мы возьмем окружность с диаметром А А (фигура 4) и из произвольной точки О на диаметре восставим перпендикулярную къпему полухорду 02), то последняя,какмыя“, проходящия через одну действительную точку— начало координат. Эти фиктивные образы, за которыми не скрывается пичего, кроме чисел и числовых соотношений, нередко оказывают значительные услуги геометрическому исследованию: при помощи их многие теоремы получают более общее и простое выражение; благодаря им часто бывает возможно избежать расчленения вопроса на множество частных случаев; вообще, как вспомогательное средство, эти мнимые геометрические образы часто оказывают те же услуги, что мнимия числа в алгебре и анализе. Максимилиан Мари, Белавитис и др. показали, что эти идеи ыожпо использовать и в интересах прямого геометрического исследования.
Уравнения центральных кривых второго порядка—эллипса и гиперболы—принимают простую форму (30), когда начало координат совпадает с центром кривой, а оси координат—с осями кривой. Замечательное свойство осей, которое непосредственно бросается в глаза, заключается в следующем: если мы проведем произвольную хорду, параллельную одной из осей, то середина этой хорды лежит на другой оси. Можно сказать, что одна из осей представляет собоии геометрическое место середип всех хорд, параллельных другой оси. Это свойство хорд допускает обобщение: если мы проведем хорды, параллельные любому диаметру кривой, то середины их располагаются на другом диаметре; такие два диаметра называются сопряженными; па фигура 16 KL и MN суть сопряженные диаметры эллипса. Замечательно, что это соот
ношение взаимное: хорды, параллельные любому из двух сопряженных диаметров, делятся пополам вторым диаметром. Оси кривой, как мы уже сказали, представляют собой пиру сопряженных диаметров; но это единственная пара сопряженных диаметров, которые взаимно перпендикулярны. Замечательно, что уравнение цеп ральнон кривой 2-го порядка принимает форму (30), если мы направим оси по любым двум сопряженным диаметрам кривой.
Все приведенные здесь рассуждения относительно эллипса и гиперболы связаны с тем обстоятельством, что уравнения их могут быть освобождены от членов, содержащих координаты в первой степени, то есть могут быть приведены к виду (30). По, как мы уже указали выше, это пе всегда возможно; некоторые уравнения второй степени не могут быть освобождены одновременно от обоих членов, содержащих х и у в первой степени; соответствующая кривая не имеетцентра. Но оказывается, что в этом случае уравнение всегда может быть приведено к виду (9), так что кривая представляет соСой параболу: парабола есть единственная кривая второго порядка, не имеющая центра. Вместе с тем в параболе не можеи быть речи о диаметрах в том смысле, как мы о пих говорили в случае эллипса или гиперболы, то есть как о хордах, проходящих через центр. Но замечательно, что и здесь, если мы возьмем совокупность параллельных хорд, то середины их лежат на одной прямой. Это обстоятельство и принимают поэтому за точку отправления для общого определения диаметра кривой второго порядка: под диаметром кривой второго порядка разумеют геометрическое место середип системы параллельных между собою хорд.—В центральных кривых (эллипсах и гиперболах) диаметры всегда проходят через центр; в параболе они всегда параллельны оси. В центральной кривой каждому диаметру отвечает сопряженный диаметр: в параболе диаметр сопряжен лишь с системой хорд, через середины которых он проходит.
В центральной кривой построение диаметра, сопряженного с данным, пе представляет никаких затруд. нений; для этого достаточно провести хорду MN (фигура 16), параллельную даппому диаметру MN, и ея середину Р соединить с центром кривой. В параболе построить диаметр, сопряженный с данным направлением хорд, конечно, также не представляет затруднений: для этого достаточно соединить середины двух хорд этого направления. Труднее определить направление хорд, сопряженных с данным диаметром. Мы еще скажем об этом несколько слов ниже.
В тесной связи с учением о сопряжепных диаметрах конических сечений стоит вопрос о касатель-пых. Во скольких точках прямая может пересекать кривую 2-го порядкае Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что координаты общих точек двух линий должны удовлетворять уравнениям обеих лнпий; мы найдем поэтому эти точки, если соединим уравпеиия обеих кривых в одну систему и совместно их разрешим. Если ми разыскиваем пересечение прямой и кривой второго порядка, то система состоит из одно» го уравнения первой степени и одного—второй степени. Решая такую систему совместно, мы получаем 2 пары решений—действительных или мнимых. Сообразно этому прямая пересекает кривую второго порядка в двух точках—действительных или млимых. Иногда обе точки пересечения сливаются в одну—прямая обращается в касательную к кривой.
Положим что секущая MN (фигура 16) перемещается параллелыио самой себе: она дает все меньшия и меньшия хорды MN, M“N“, M“N“ и в пределе, когда точки М и N сливаются в одну точку К, обращается в касательную к кривой к этой точке. Следовательно, касательная к коническому сечению параллельна хордам, сопряженным с тем диаметром, который проходит через точку касания.
Отсюда ясно, как построить касательную в какой-либо точке К центрального конического сечения (фигура 16). Для этого проводим через точку К диаметр, строим, как было указано выше, диаметр MN, сопряженный с ним, а затем через точку К проводим прямую параллельную MN. Это построение нс пригоднодля параболы (фигура17), так как здесь диаметр KL параллелеп оси, и построить сопряженные ему хорды этим способом нельзя. Здесь для построения касательной в точке К соединяем эту точку с фокусом F; биссектриса КО угла FKL, как мы уже знаем (отб. 12), будет нормалью к кривой; перпендикуляр KS к КО будет служить касательной. Чтобы найти фокус, если он не был известен, делаем обратное построение: берем произвольную хорду MN, черезь середину ея Р проводим прямую PQ, параллельно оси параболы; это будет диаметр, сопряженный с хордой MN. Если этот диаметр встречает кривую в точке Q, то прямая QT, параллельная МУ, служит касательной к кривой; нераепдикуляр к ней QH должен делить пополам угол PQF. Поэтому, чтобы построить фокус, остается провести луч QF, образующий с QU угол, равный RQP. Заметим, что это построение касательной при помощи фокуса и фокуса при помощи касательной пригодно также для центральных кривых 2 порядка; кроме того, нужно сказать, что для построения касательной существуют еще многие другие достаточно простые приемы.
В аналитическом развитии теории кривых второго порядка весь этои материал разрабатывается, конечно, алгебраическими средствами; устанавливаются критерии,
дающие возможность оиредЬлить тип кривой по ея уравнению; указываются методы, как по уравнению кривой найти ея центр и оси, как привести уравнение к простейшему виду (30) или (9), как составить уравнения сопряженных диаметров, касательпой и нормали в каждой точке кривой, как определить координаты фокусов, уравяения директрис и так далее
Мы займемся, однако, еще одним примыкающим сюда геометрическим вопросом, имеющим большую важиость. Мы показали, как провести касательную к коническому сечепию из точки, лежащей па самой кривой. Положим, что из точки А (фигура 18) нужно провести касательную к коническому сечению. Анализ обнаруживает прежде всего, что каждое коническое сечение делить плоскость на две части: внутреннюю, из точек которой нельзя провести касательную к кривой, — и внешнюю, из каждой точки которой выходят две касательные к кривой. Итак, положим,
что нам дана точка .4. вне кривой; из нея выходят две касательные к кривой А Л и АиВ; как их построитье Прямую МУ, соединяющую точки касания выхо
дящих из точки А касательных к кривой, называют полярой точки А, точку же А называют полюсом прямой МУ. Если бы мы умели построить поляру каждой точки, то вопрос о проведении касательных из внешней точки был бы решен: достаточно было бы построить поляру МУ дайной точки А и точки М,У ея пересечения с кривой соединить с А; это и будут касательные. Но как построить поляру данной точкие
Два обстоятельства играют здесь решающую роль. 1 ) первых, если дана прямая МУ, пересекающая коническое сечение, то построить ея полюс пе представляет затруднений: для этого достаточно провести касательные в точках М и У ея пересечения с кривой; точка пересечения последних А и есть полюс прямой. Второе обстоятельство заключается в следующей основной теореме: если какая-либо прямая Aq проходит через полюс А прямой МУ, то ея полюс Q лежит на полярп МУ этой точки А (фигура 18). Несколько иначе: когда прямая Aq вращается вокруг неподвижной точки А, то ея полюс перемещается ко поляре MN этой точки. Ясно, следовательно, что и, наоборот, когда точка Q движется по прямой MN, то поляра Aq этой точки вращается вокруг полюса А прямой MN. Из этих соображений непосредственно вытекает простой метод построения поляры данной точки А: мы проводим через псе две прямыя, пересекающия коническое сечение, скажем Ар и Aq’, эатем строим полюсы Р и Q этих прямых; прямая PQ и будет полярой точки А.
Вопрос о построении касательных к коническому сечению из внешней точки этим вполне исчерпан. Но в связи с этим стоят некоторые соображения принципиальной важпости. Предыдущее определение устанавливает понятие о поляре только для таких точек, которые лежат вне конического сечения. Но указанное выше построение паходит себе нримепепиф и в том случае, когда точка А лежит внутри кривой (фигура 19). Мы и в этом случае можем провести через точку А две прямия рр и qq, пересекающия кривую, найти их полюсы Р и Q и последние соединить. Замечательно то, что мы при этом получаем одну итуже прямую PQ, как бы пи были взяты исходные прямия рр и qq. Эга прямая PQ принимается за поляру точки А. Таким образом устанавливается понятие о поляре как для внутренней, так и для внешней точки кривой и при том устанавливается при помощи одного и того же построения. Что даст это построение, когда точка лежит на самой кривойе Если мы станем строить поляру точки р (на фигура 19) тем же способом, мы должны будем провести через точку р две секу
щия рр“ и рр,г, найти их полюсы и соединить последние. Но полюс прямой рр> будет лежать в пересечении касательных в точках р и рг, он будет лежать, следовательно, па касательной рР в точке р. Но так как через ту же точку р кривой проходит вторая вспомогательная прямая рр“, то и ея полюс также лежит на касательной Рр, а потому и самой полярой точки р будет служить касательная к кривой в этой точке; полярой точки на кривой служить касательная к кривой вг этой точки.
Подобно тому, как каждой точке на прямой теперь соответствует поляра, каждой прямой, даже не пересекающей кривой, отвечает полюс: для его разыскания достаточно построить поляры любых двух ея точек: пересечение этих поляр и будет служить полюсом данной прямой.
Учепие о полюсах и полярах имеет большое теоретическое зпачепие с различных точек зрения. Прежде всего мы можем на полярах выяснить роль мнимых элементов в аналитической геометрии. Если пользоваться мнимыми образами, то исходное определение поляры может быть принято за общее определение ея. Дело в том, что аналитически из любой точки плоскости, не лежащей на данном коническом сечепии, можно к последнему провести две касательныя; по фти касательные будут действительные, если точка лежит вне коиического сечения, и мнимыя, если она аажит внутри его. И точки касания будут в первом случае действительные, во втором мнимыя. Поляра даппой точки есть прямая, соединяющая точки касания (действительные или мнимыя) двух касательных, проведенных из данной точки к коническому сечению;. когда точка лежит на коническом сечении, обе касательные сливаются в одну; она же служит и полярой к иочткасания. Обратно, каждая прямая пересекаетконическое сечение в двух точках, действительных или мнимых; через каждую из этих точек проходит касательная к кривой, соответственно действительная или мнимая; точка пересечения двух касательных оказывается всегда действительной—это есть полюс дайной прямой. В согласии с этпм уравнение поляры данной точки всегда имеет один и тот же вид, где бы ни лежал полюс. Если, например, кривая имеет уравнение вида (30), то уравнение поляры точки хЛ, Уи имеет соответственно вид:
УУ и _
xxt
(34).
Ш
а“ 1 Ь “ а“ 6
Если точка лежит на кривой, то уравнения (34) выражают касательную—соответственно—к эллипсу или гииерболе.
Другая сторона дела—это соответствие между полюсом и полярой. В отделе I мы указали на геометрическое соответствие, как на одну из основных категорий геометрических изысканий. Но соответствие, о котором была речь там, это соответствие точек; оно заключается в том, что каждой точке, скажем, плоскости мы относим в качестве соответствующей некоторую другую точку этой плоскости. Здесь каждое коническое сечение устанавливает некоторое соответствие другого рода: каждой точке отвечает прямая—ея поляра, каждой прямой—точка, ея полюс. В возможности такого сопряжения коренится источник глубокой аналогии между точками и прямыми—так называемое начало двойственности или взаимности. С этими идеями мы еще встретимся нижо в отделе, посвященном проективной геометрии.
В этом кратком обзоре аналитической теории кривых второго порядка мы имели возможность коснуться только самых существеппых вопросов; мы вынуждены обойти даже учение о софокуспых, подобных и гомотетичных конических сечениях, о пучках и связках их; мы должны были ограничиться теми сторонами дела, которые выясняют общую идей аналитического исследования кривых. Обращаясь теперь к кривым более высоких порядков, мы вынуждены ограничиться еще более краткими указаниями, главным образом, такими, которые выясняют, как быстро здесь все вопросы усложняются.
Пачпем с вопроса о независимости точек относительно кривой. Кривая второго порядка, как мы ужо упоминали выше, определяется 5 своими точками; при этом любия 5 течек, лежащих на данном коническом сечепии, являются независимыми в следующем смысле этого слова: если мы из 5 точек удержим только 4, то через них можно будет провести безчисленное множество конических сечений, пятой точки не содержащих. Дело обстоит иначе в случае кривых более высоких порядков. Общее уавнепиф кривой третьяго порядка имеет 9 независимых коэффициентов; сообразно этому, кривая 3-го порядка должна определяться 9 точками. Так опо и имеет вообще место; но здесь есть исключение, существенно отличающее этот случай от того, что имеет место в случае кривой 2-го порядка. Если мы возьмем 8 точек па кривой 3-го порядка, то через них можно, конечно, провести еще безчисленное множество других кривых 3-го порядка; но все оне проходят через некоторую определенную девятую точку. Более того, эти 9 точек образуют связанную группу таким образом, чтовсакаа кривая 3-го порядка, проходящая через 8 из них, необходимо проходит черев девятую. Эти зависимости еще усложняются для кривых более высоких порядков. Определение условия независимости точек па алгебраической кривой и связанных между собой групп составляет первый момепт в деле общого исследования алгебраических кривых.
На нераспадающейся кривой второго порядка все точки суть обыкновенные. Это зпачит, если мы опишем из то°ки 31 на кривой окружность весьма малым
Фигура 20.
радиусом, то она пересекает кривую в двух точках 31 и 31“ (фигура 20 а). Два радиуса MW и МЗИ“ образуют при весьма малой величине этого радиуса тупой угол 31ММ“, который выпрямляется по мере уменьшения радиуса; в пределе прямия МЗР и ММ“ сливается в одну—в касательную к кривой, по одну сторопу от которой располагается кривая. Если кривая 2-го порядка распадается на 2 прямыя, то точка пересечения 31 этих кривых (фигура 20 b) представляет собой единственный случай особенной точки: окружность, описанная около точки М малым радиусом, пересекает нашу линию в 4 точках. Точка 31 называется в этом случае двойной: если мы возьмем две точки W и 31“ на равпом расстоянии от М на одной и другой прямой, то прямая ММ“ встречает лилию в этих двух точках. Если мы будем уменьшать расстояние 31М—3131“, то обе точки пересечения будут приближаться к ЗГ, хотя прямая 3131“ в касательную не обратится.
Гораздо сложнее обстоит дело в алгебраичи ских кривых более высокаго порядка
Гораздо сложнее обстоит дело в алгебраичи ских кривых более высокого порядка. Здесь нераспадающаяся кривая может иметь и обыкновенно имеет особенные точки. Особенности зти столь разнообразны, что даже дать общее их определение геометрически представляется затруднительным. Прежде всего возможны кратные точки, в которых пересекаются или соприкасаются различпия ветви кривой. Кривая п-го порядка выражается уравнением n-ой степени. Если мы расположим левую часть уравнения кривой f[x,y) — 0 по восходящим степеням переменных, то она будет начинаться со свободного члена, затем будут следовать члены 1-го, 2-го, 3-го измерения и так далее Если за начало коордипат принята точка на кривой, то значения х=О, у=0 должны обращать левую часть уравпепия в нуль; а потому свободный член должен быть равен нулю. Обыкновенно левая часть уравнения будет при таких условиях начинаться с членов иервого измерения; в этом случае пачало координатбудет обыкновенной точкой кривой; приравнивая пулю члены первого измерения, мы получим уравнение касательной к кривой в этой точке. По иногда членов первого измерения может пе быть, левая часть уравнения начинается с членов второй кратности; тогда начало будет двойной точкой кривой, а приравнивая члепы второго измерения пулю, мы получим геометрическое место, распадающееся на две прямыя; это будут две касательные к кривой в этой точке. Вообще, если функция / (х,у), составляющая левую часть уравнения кривой (8), начинается с членов А-го измерения, то пачало координат служит точкой А-ой кратности этой кривой; приравнивая же нулю члены А-ой кратности, мы получим уравнение А касательных в этой точке. Но эти А касательных могут группами совпадать, некоторые из них могут оказаться мнимыми; это ки репным образом влияет па характер кратной точки. Па чертеже XI в статье „Высшая математика“ (XII, 81) можпо видеть различные виды особенных точек.
Но даже в том случае, когда 0 есть обыкновенная точка кривой, касательная к нфй в этой точке может находиться с кривой в более или менее тесном соприкосновении. Если мы в точке 31 кривой (фигура 20) повернем касательную па небольшой угол, то она пересечет кривую еще в одной точке 31, весьма близкой к ЗГ. По если мы повернем касательную вокруг точки 31 на небольшой угол на кривой, изображенной на фнг. 21, то касательная пересечет кривую помимо точки 31 еще в двух точках, потому что кривая в точках, прилежащих к 31, располагается пе с одной стороны касательной, а с обеих сторон. Такого рода точка называется точкой перегиба; в зависимости от числа точек, в которых касательная при небольшом повороте пересекает кривую вблизи точки 31, определяется порядок перегиба. Аналитически точка перегиба характеризуется тем, что сумма члепов первого измерения входит множителем в состав более высоких групп; в так называемой простой точке перегиба группа члепов первого измерения служит делителем группы членов 2-го измерения, но но делить группы 3-го измерения.
Неразлагающаяся кривая n-го порядка имеет нф больше, чем — (н—1) (п—2) двойных точек; в частности кривая 8-го порядка может иметь только одну двойную точку, но может иметь 9 точек перегиба.
Еще Маклореп показал, что эти точки перегиба расположены таким образом, что прямая, проходящая через две из них, проходит еще через третью; таким образом получается 12 прямых, из которых каждая содержит три точки перегиба, а через каждую точку перегиба проходят четыре из этих прямых.
Роль поляр для кривых высших порядков заменяют так называемия полярпия кривыя. Относительно кривой п-ого порядка каждой точке отвечает кривая
(п—1)-го порядка, служащая ея полярной кривой. Относительно кривой 3-го порядка, например, каждой точке отвечает полярное коническое сечение. Точки касания касательных, проведенных к кривой из данной точки, лежат на пересечении данной кривой с полярной кривой, соответствующей этой точке; этих точек пересечения в случае кривой n-го порядка будет п(п—1); сообразно этому из точки, лежащей вне кривой, можно провести к кривой n-ого порядка п(п— 1) касательных; но между ними могут оказаться совпадающия и мпимыя. Из точки, лежащей вне кривой 3-го порядка, можно провести к ней 6 касательных.
Классификация алгебраических кривых каждого по рядка представляет большия затруднения. Так, классификацией кривых 3-го порядка заримался еще Ньютон; но так как здесь возможны различные точки отправления, то и результаты классификации могут быть черезвычайно различны. Так, например, Ныотоп различал 72 вида кривых 3-го порядка, между тем как Плюкер (Pliicker) насчитывает их 219.
Было указано много приемов, определяющих геометрически происхождение кривых высшого порядка; в большинстве случаев они основаны на проективных соображениях, и мы еще упомянем о них в своем месте. Здесь же укажем следующее образование кривых 3-го порядка, принадлежащее Грасеману. Положим, что мы имеем три неподвижные прямия а, Ь, с и три постоянные точки А, В, С; если мы произвольную точку М соединим с точками А, В, С, то прямия МА, В В, МС пересекут неподвижные прямия а, Ь, с соответственно в точках А, В, С. Если точка М движется гаким образом, что при каждом фя положении соответствующия точки Af, В, С лежат на одной прямой, то она описывает кривую 3-го порядка; и обратно, как показал Клебш (Clebsch), каждая кривая 3-го порядка может быть получена этим путем. Замечательно, что этот метод образования кривых 3-го порядка может быть распространен на алгебраические кривия любого порядка; но мы не будем на этом останавливаться.
Глубокое изучение высших алгебраических кривых тксно связало с решением сложных алгебраических вопросов; геометрическое и алгебраическое исследования идут здесь рядом, и геометрия часто оказывает такие же услуги алгебре, какие последняя оказывасть геометрии.
V. Учение об алгебраических поверхностях.
Остановившись сравнительно подробно на аналитическом исследовании алгебраических кривых, мы дадим лишь краткий обзор результатов, к которым приводит применение техт> же приемов к исследованию алгебраических поверхностей.
Как было выяспепо в отделе III, поверхность выражается уравнением вида F (x,y,z) — О. Поверхпость называется алгебраической, если она выражается алгебраическим уравнением; степень этого уравпепия определяет порядок поверхности. Поверхность первого порядка, выражающаяся уравнением
Ax + By + Ся + I)=О,(35)
представляет собою плоскость; и, обратно, каждая плоскость выражается уравнением этого вида. Аналитическая геометрия дает средства определять положение такой плоскости и положение плоскостей друг относительно друга по их уравнениям; она дает также правила для составления уравнения плоскости ио заданиям, которыми таковая определяется.
Пересечением двух плоскостей определяется прямая в пространстве. Сообразно этому прямая в пространстве выражается двумя уравнениями вида (35).
Поверхность второго порядка выражается уравнением второй степени, наиболее общая форма которого представляется в следующем виде:
Aлг-}-Zty2-}-C,я, - -Dxy- -Eyz- -Fzx- - Аx-f- Ly -Mz - -N= 0(36) Левая часть этого уравнения распадается на четыре части; первую часть представляют 3 члена, содержащие квадраты координат, вторую—члены, содержащие их произведения, третью—члены нервой степепп, а четвертую составляет свободный член. Как и при исследовании кривых второго порядка, оказывается, что прямоугольные координаты можно всегда ориентировать такиш образом, чтобы члены, содержащие произведения неизвестных, исчезли. Вопрос заключается в том, возможно ли при надлежащем выборе пачала освободиться также от членов первой степени. Это иногда оказывается возможным, иногда невозможным. Если возможно освободить уравнение от членов первой степени, то оно приводится к виду:
Ах“ -}- By -j- Сж“=N,(37)
аналогичному урав нению (28). В этом случае каждой точке М (ж, у, я) на поверхности отвечает также точка М (—х,
—у,—я), симметрич. первой относительно начала. Начало координат является центром симметрии поверхности, и она называется поэтому центральной. Если иВ не равно пулю, то, деля уравнение на N, ыы приведем его к виду:
Лх“ { By“- -f Се“ - 1. .. .. .. (38) Здесь все три коэффициента не могут быть отрицательными, ибо тогда левая часть уравнения всегда имела бы отрицательное значение. Следовательно, либо все 3 коэффициента имеют положительные значения, либо между ними есть один отрицательный, либо 2 отрицательных. В первом случае уравнение приводи ся
к виду:
2 2.2,2
(39)
я выражает эллипсоид (фигура 22). Это есть замкпутая поверхность, которая при пересечении плоскостью всегда дает в сечении эллипс. Оси координат служат осямисимметрии поверхности; расположенные но этим осям диаметры имеют длины 2а, 26, 2с; это суть так зазываемия оси эллипсоида. Если две из этих осей равны, то поверхность обращается в поверхпость вращешия, которая получается при вращении эллипса вокруг одной из своих осей.
Еислн в уравнении (38) один из коэффициентов имеет отрицательное значение, то оно приводится к виду:
“, _ В5 _
я“ “И Ь с“-
(40)
Оно выражает т.-п. однополый гиперболоид фигура 23). Плоскости, перпендикулярные к оси г, пересекают эту поверхность по эллипсам, причем плоскость ХУ дает в сечении наименьший эллипс—горло гиперболоида. В сечении с плоскостями, проходящими через ось г, получаются гиперболы. Поверхность состоит из одной полости, простирающейся в безконечность по обе сторопы от горла.
Фигура 23.
Фигура 24.
Если в уравнении (38) имеется 2 отрицательных коэффициента, to опо приводится е виду: х8 у% г2,
5Г-»т-е= 1..(4И>
и выражает т.-п. двуполый гиперболоид (фигура 24). При пересечении с плоскостями,перпендикулярными к оси я-ов, он также дает эллипсы, а в сечении с плоскостями, проходящими через ось,—гиперболы. Но эга поверхность состоит из двух раздельных полостей, каждая из которых простирается в безконечность.
Если в уравнении (38) один из коэффициентов, скажем, С, обращается в нуль, то оно выражает цилиндрическую поверхность, которую описывает прямая, параллельная оси г-ов и опирающаяся на коническое сечение,
Ax Вуг =1..(42)
В зависимости от того, будет ли это эллипс или гипербола, цилиндр называется эллиптическим или гиперболическим. Прямая, проходящая через центр направляющого конического сечения (42) параллельно образующей, называется осью цилиндрической поверхности. Так как поверхность простирается в безконечность в обе стороны, то каждая точка на оси является центром симметрии поверхности. Она имеет, таким образом, безчисленное множество центров.
Эллипсоид и два гиперболоида представляют собой важнейшия центральные поверхности 2-го порядка. По в уравнении (37) свободный член N может оказаться нулем; тогда начало координат—центр симметрии поверхности—лежит па самой поверхности. Это—коническая поверхность о двух полах, как па фигура 7; центром симметрии служит вершина конуса, а самая поверхность образуется прямой, которая движется, проходя постоянно через вершину и опираясь на кривую второго порядка. Эта поверхность является матерью кони чеекчх сечений.
Такопы центральные поверхности второго порядка. Если уравнение (36) пе может быть освобождено от членов, содержащих первия степени неизвестных, то есть пе может быть приведено к виду (37), то поверхность вовсе пе имеет центра. Изследование обнаруживает, однако, что в этом случае уравнение поверхпости может быть приведено к такой форме, чтобы одна из координат входила только в первой степени; простейшая форма, в которой урав-испие (36) может быть в этом случае представлено, имеет вид:
Ах“+Ву“=рз .(43) Все поверхности, выражаемия уравнениями этого вида, дают в сечении с плоскостями, проходящими через ось я-ов, параболы; оне называются поэтому параболоидами. Если коэффициенты А и В имеют одинаковые знаки, то в сечении с плоскостями, перпепдикуляр. к оси г, поверхность дает эллипсы; такая поверхность называется эллиптическим параболоидом (фигура 25). Если же коэффициенты А и В имеют противоположные знаки, то в сечении с перпендикулярными плоскостями получаются гиперболы; поверхность называется гиперболическим параболоидом (фигура 26); на рисунках 25 и 26 изображены, конечно, лишь небольшия части поверхностей, простирающихся в безконечность.
Таковы различные типы поверхностей второго порядка.
Как мы видели выше, кривия второго порядка были открыты и изучены еще греками; аналитическая геометрия осветила лишь теориюэтих замечатель-
ных кривых с иной точки зрения и дала новые пути к исследованию их. Напротив, поверхпости 2-го порядка были открыты и расклассифицированы исключительно па основании аналитических соображений. Эйлеру,
Фигура 25.
давшему в свосм замечательном сочинении „Intro-ductio in analysin infinitorum“ (1748) аналитическую классификацию кривых второго порядка, принадлежит также классификация поверхностей 2-го порядка. Чисто геометрическая теория их была дана позже Штейнером (/. Steiner. „SystematiscUe Entwicklung der Abiiangig-keit geometrischer Gestalten yon einander“; 1832).
Фигура 26.
Аналитическая геометрия ставит по отношению к поверхностям вопросы, совершенно аналогичные тем, которые составляют предмет аналитической теории кривых второго порядка. Наиболее важное свойство поверхностей второго порядка, с точки зрения Эйлера, заключается в том, что прямая пересекает их не более, чем в двух точках, а всякая плоскость сечет эти поверхности по коническому сечению. В связи с этим надо остановиться на следующем замечательном обстоятельстве. Мы знаем, что кривая второго порядка вырождается иногда в совокупность двух прямых. Сообразно этому и плоскость может иногда пересекать поверхность второго порядка по двум прямым—это имеет место, например, при пересечении конуса плоскостью, проходящей через вершину, и при пересечении цилиндра плоскостью, параллельной оси. Но замечательно, что и другия поверхности второго порядка могут давать иногда в пересечении с плоскостями две прямыя. Этим свойством обладают однополый гиперболоид и гиперболический параболоид. Более того, через каждую точку той и другой поверхности можно провести плоскость, рассекающую поверхность по двум прямым. Иначе говоря. —через каждую точку поверхности проходят две прямыя, расположенные целиком на этой поверхности. Вся поверхность таким образом покрывается двумя системами прямых; па поверхности этого рода можно смотреть, как па линейчатия по-верхцоети, то есть такия, которые образованы движением прямой. Простейшие виды линейчатых поверхностей хорошо известны в элементарной геометрии: это конические и цилипдрические поверхности. Но эти простейшия поверхности обладают следующей замечательной особенностью: любия две образующия их лежат в одпои плоскости; поверхность образуется прямой, перемещающейся таким образом, что она постоянно пересекает предыдущее свое положение или остается ему параллельной. В тесной связи с этим стоит то обстоятельство, что поверхности этого рода могут быть, как говорят, развернуты па плоскость: мы представляем себе, что коническою и цилиндрическую поверхностьможно разогнуть таким образом, чтобы она иокрыл-плоскость. Эти поверхности называются поэтому развертывающимися на плоскость. Иначе обстоит дело в однополом гиперболоиде и гиперболическом параболоиде. Эти поверхности, как уже сказано, также могут быть образованы движением прямой линии, но самое движение совершается иначе: каждая образующая не пересекает своего предыдущого положения; опа нф только отклоняется от него на небольшой угол, по и отходит от него на некоторое расстояние в другую плоскость. Так, например, гиперболический параболоид можно получить движением прямой следующим образом: представим себе некоторую плоскость и две неподвижные прямия АВ и АВ, не лежащия в одной плоскости (фигура 2И). Положим, что третья прямая MX (образующая) движется таким образом, что она остается параллельной некоторой плоскости и в то же время постоянно пересекает обе не-подвижпия прямыя—АВ и АВ. Яспо, что при этих условиях последовательные положения прямой MX, даже сколь угодно близкия, располагают я в различных плоскостях. Этого рода поверхности не могут быть развернуты на плоскость; оне называются косыми липейчатыми поверхностями.
Возвратимся теперь к тому факту, что плоскость сечет поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Пусть 0 будет точка, пе лежащая ла данной поверхности 2-го порядка. Проведем через точку Ot произвольную плоскость, пересекающую данную поверхность по копическому сечению Р; точке 0 отвечает относительно этого конического сечения поляра р. Так как через точку 0 можно провести безчисленное множество плоскостей, то ей отвечает безчисленное ыпожеетво поляр. Изследование обнаруживает, что оне располагаются все в одной плоскости; эта
плоскость называется полярной плоскости» точки О относительно конического сечения. Если из точки О можно провести к поверхности иучек касательных, то точки касания последних образуют коническое сечение, которое представляет собою пересечение поверхности с полярною плоскостью точки О. Если точка О
лежит на поверхности, то полярная плоскость обращается в касательную плоскость к поверхности в этой точке. Соответствие между полюсом и полярно» плоскостью, устанавливаемое поверхностью второго порядка, представляет собой новый вид геометрического соответствия, которое получает развитие в проективной геометрии.
Мы видим, таким образом, что в теории поверхностей второго порядка получают дальнейшее развитие те пдеи, которые вложены в учение о кривых 2-го порядка. В общей теории алгебраических поверхностей эти идеи значительно усложняются. Если при исследовании кривых высших порядков на сцену выступают особенные точки, то здесь эти особенные точки образуют часто целия кривия на поверхно>тн. По этим кривым либо пересекаются отдельные полости поверхности (линии кратных точек), либо сходятся отдельные части их (ребра поверхности), либо перегибаются часии поверхности с одной стороны касательной плоскости на другую (линии перегиба). Изучение этих особенностей и связанная с этим классификация алгебраических поверхностей высших порядков представляет большия затруднения; во многих своих частях это учение еще ждет исследователей.
VI. Дифференциальные методы в Геометрии.
Ровно через 100 лет после того, как появилась в свет „Геометрия“ Декарта (1637 — 1736), был опубликован безсмертный мемуар Ньютона, „Методъфлюксий“, послуживший основой современного анализа безконечно малых. Этот замечательный мемуар был написан еще в 1671 г. В ст. „Исчисление безконечно малыхъ“ читатель найдет изложение эволюции, которой подверглись повия идеи от момента пх зарождения до эпохи общого призпания, к которой и относится опубликование мемуара после смерти его великого автора. Полное заглавие мемуара („Methodus fluxionum et serierum iu finitarum cum eiusdem application ad curvarum geome-triam“) уже свидетельствует, что новое исчисление в иервыф же годы после своего зарождения получило применение к геометрии; более того, исчисление безконечно малых в значительной мере обязано своим происхождением некоторым классическим геометрическим задачам, к которым мы сейчас обратимся. Когда же новый анализ развернулся, то внесение его идей в аналитическую геометрию послужило таким лсе мощным импульсом, как и появление оеповых идей Декарта и Ферма. Те исследования, о которых была речь в предыдущих двух отделах, носят чисто алгебраический характер; они имеют применение только к тем кривым и поверхностям, которые выражаются алгебраическим уравнением между координатами. Анализ безконечно малых чужд этих ограничений; он находит себе применение в неизмеримо более широком комплексе функций; его творцам и основателям даже казалось, что он применим ко всем непрерывным функциям. Сообразно этому и методы приложения анализа безконечно-малых к геометрии носят неизмеримо более общий характер, нежели тЬ приемы, кото-рым“ получепы результаты изложенные в двух предыдущих отделах; они составляют дифференциальную геометрию. Здесь мы не паходнм классификации отдельных типов кривых; здесь мы имеем лишь такие исследования, когория применяются ко всякой кривой, выражаемой па плоскости уравнением вида:
y=f(x)С44)
(в пространстве-двумя уравнениями такого рода), если только фупкция f (х) имеет первия две производпыя. Геометрическое происхождение понятия о производной с полною яспостью изложепо в статье .Высшая математика“ (XII, 84), аналитическое установление этого понятия читатель найдет в ст. „Исчисление безконечно малыхъ“. Для понимания формул и вычкелений дифференциальной геометрии необходимо вполне владеть этим понятием. Однако при изложении настоящого отдела мы сосредоточим впимаиие, главным образом, па геометрической стороне дела—на сущности задач и на результатах, к которым приводит их решепие.
Все вопросы, которыми занимается дифференциальная Г., так или ипаче сводятся к определению предельного положения того или иного образа по неограниченному ряду приближенных его положении. Точкой отправления здесь служит задача о касательной, классический вопрос, приведший к понятью о флюксии или производной.
Если проведем секущую к кривой через точку М и весьма близкую к ней точку W (фигура 20 а), а затем станем точку W неограниченно приближать к АГ, то положение секущей будет мепятьел, по будет при этом неограниченно приближаться к некоторому предельному положению, которое и представляет собою касательпую в точке М. Как разыскать эту касательную, как построить ее геометрически, как составить аналитически ея уравнениее
Если координаты точки М. суть (а, b), то уравнение касательной, как и уравнение каждой прямой, через эту точку проходящей, имеет вид (20). Весь вопрос заключается в определении коэффициента к, так называемого углового коэффициента касательной, т. - е. таигснса угла, который оиа образует сь осью абсцисс. Этот угловой коэффициент и представляет собой геометрическое определение производной от функции Дж), представляющей правую часть уравнения (44). Аналитически образование производпои в связи с задачей о касательной выяснено в указанном выше месте статьи „Высш. математика“. Правила образования производной от данной фупкции дает дифференциальное исчисление. В пору первого развития исчисления безконечно малых полагали, что всякая непрерывная функция имеет производную при каждом значении независимой переменной, а потому каждая непрерывная кривая имеет касательпую в каждой своей точке. Однако, глубокие исследования ХИХ-го столетия разрушили эту иллюзию и этим, конечно, несколько сузили комплекс образов, к которым применяется дифференциальная геометрия. Дальнейшия наши рассуждения относятся только к таким кривым вида (44), для которых левая часть уравпепия имеет первую и вторую производные. Из того, что мы выражаем кривую уравнением вида (44), следует, что мы имеем в виду плоскую кривую, то есть расположенную в одной плоскости. О более сложных кривых речь еще впереди. Производнаяот функции f x) обозначается через Р(х); и сообразно этому уравнение касательпой к плоской кривой (44) в точке (а, 6) имеет вид:
y—b=(x—a) Р(Х).(45).
Прямая, проведенная через точку кривой перпендикулярно к касательной в этой точке, называется нормалью к кривой. Главное значение касательной и нормали в прикладной математике заключается в следующем: если некоторая точка движется по кривой, то скорость этого движения в каждый момент направлена по касательной к траектории в той точке, в которой и этот момент находится движущаяся точка. Если же движется неизменяемая фигура, некоторая точка которой описывает данную кривую, то так называемый мгновенный центр движения в каждый момент лежит па нормали к кривой. Шаль (Chasles), Роберваль (Roberval) и др. основали на этом свон приемы для геометрического построения касательной и нормали к кривой. Эгн приемы находят себе применение всякий раз, как удается указать такой способ образования кривой при помощи движения, который дает возможность непосредственно определить либо направление скорости, либо положение мгновенного центра движения-Пусть М будет некоторая точка на данной кривой, MN—нормаль к кривой в этой точке. Возьмем точку М, весьма близкую к М (фигура 28), и в ней проведем нормаль MN. Эта нормаль пересечет предыдущую в некоторой точке С. Если теперь мы будем приближать точку М к 31, то положение точки пере. сечения С будет, как оказывается, неограниченно приближаться к некоторому предельному положению— к некоторой точке С на исходной нормали MN. Эта точка С называется центром криви зпы кривой, соответствующим ея точке 31; расстояние МС называется радиусом кривизны кривой в точке М; окружность, описснная из точки С радиубом СМ,—окружностью кривизны в точке М.
Это суть основные понятия дифференциальной геометрии. Если исходной кривой служит окружность, то центр кривизны всегда нанимает одно и то же положение—он совпадает с центром окружности; радиус кривизны совпадает с радиусом окружности. Чем меньше радиус окружности, тем быстрее она загибается, искривляется и, наоборот, чем больше радиус окружности, тем меньше небольшая дуга ея отличается от прямой, тем меньше ея кривизна. Сообразно этому, за меру кривизны окружности принимает
ся величина, обратная ея радиусу
за меру жекривизны в данной точке любой кривой принимается величина, обратная радиусу кривизны в этой точке. Значение окружности кривизны в данной точке кривой заключается в том, что это есть окружность, имеющая с него в данной точке кривой наиболеетеспое соприкосновение. Во многих случаях дуг& кривой в ближайших частях точки М может быть заменена дугой окружности кривизны в этой точке. Так, например, если точка движется но окружности и имеет в данный момент скорость в, то так называемое центростремительное ускорение этого движения
t)2 „
направлено к центру окружности и равно —. Еслидвижение совершается по любой кривой, то центростремительное ускорение направлено к центру кривизны итакже выражается формулой —, где г—радиус кривизны в данной точке кривой. Движение по кривой вблизи точки М как бы заменяется движением по окружности кривизны в этой точке. Бресс (Втеззф) и другие пользуются этим обстоятельством для геометрического построения центра кривизны в каждой точке кривой.
К идее о кривизне кривой можно прийти и иным путем. Обозначим через а угол между нормалями 31N и MN1; этот угол выражает уклонение нормали па протяжении дуги ММ’ (или уклонение касательной на этом протяжении, так как угол между нормалямиравен углу между касательными). Отношение
ММ
выражает как бы скорость отклонения нормали или касательной вдоль дуги ММ; предел этого отношения, ко. гда точка М> стремится к М, и представляет собой кривизну в этой точке. Кривизна прямой постоянно равна нулю, ибо касательная и пормаль здесь вовсе пе отклоняются. В окружности кривизна имеет одинаковое значение --во всех ея точках. Прямая и окружность суть линии, имеющия постоянную кривизну; во всех других кривых кривизна меняется от точки к точке.
Как мы уже указали, в случае окружности центр кривизны всегда лежит в одной и той же точке в центре ея. В других кривых положение центра окружности меняется от точки к точке. Если ыы для
каждой точки кривой построим ея центр кривизны N (фигура 29), то геометрическое место точек N составить новую кривую—ея эволюту или развертку. Самая же кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой или разверзающей кривой. Между точками эвольвенты и эволюты устанавливается такпм образом
Геометрическое соответствие. Каждой точке М эвольвенты отвечает ея центр кривизны — точка N на эволюте; и, так как центр кривизны лежит всегда на нормали к кривой, то каждая точка эволюты лежит на нормали соответствующей точки эвольвенты. По замечательно, что эта нормаль в то же время касается эвольвенты: нормали к эвольвепте служат касательными к эволюте; эволюта как бы огибает пучек нормалей. Мало того, если мы возьмем две точки эвольвенты М и М1 (фигура 29) и соответствующия точки иВ u N па эволюте, то разность между радиусами кривизны MN и 3PN как раз равна длине эволюты NNf на этом протяжении: длина радиуса кривизны эвольвенты парастает как раз на длину дугп соответствующей части эволюты. Если бы мы в некоторой точке N эволюты закрепили нить и направили ее по касательной к кривой до точки M, затем, постоянно натягивая нить, вели бы ее так, чтобы точка М все время оставалась на эвольвепте, то нить постоянно облегала бы эволюту. Укажем еще следующее замечательное обстоятельство в соответствии между эвольвентой и эволютой: каждой эвольвепте отвечает одна определенная эволюта; но каждой эволюте отвечает безчисленное множество эвольвент. Это зпачит; если дана кривая, то мы имеем возможность построить множество кривых, для которых данная кривая служит эволютой.
В этом рассуждении мы в первый раз встречаемся с семейством лииий. Этим семейством здесь является совокупность нормалей к эвольвепте или совокупность касательных к эволюте. Понятие о семействе кривых играет весьма важную роль в геометрии. В наиболее простом случае семейство кривых выражается уравнением вида:
Р (х, у, а)=0,
а
Фигура 30.
Где а есть переменная, как говорят, параметр, значение которого совершенно не зависит от зпачепия координат. Если мы дадим параметру а определонное численное значение, то уравнение (46) тотчас примет обычпую форму / (х, у) — О, то есть выразит некоторую кривую на плоскости. Каждому значению параметра а отвечает таким образом определенная кривая; совокупность этих кривых и образует семейство кривых.
В дальнейшем мы будем иметь в виду исключительно семейства кривых этого рода, т.-с. зависящия от одного параметра. Такое семейство представляет собой совокупность концентрических окружностей (отличаю, щнхея одна от другой, следовательно, только значением радиуса), совокупность софокусных эллипсов (то есть имеющих общие фокусы и отличающихся только эксцентриситетом) и тому подобное. Па фигура 30 между двумя жирными окружностями изображена окружность ра-лиуса Ии; из каждой точки этой окружности описана окружность меньшого, по постоянного радиуса г; совокупность этих малых окружностей об-раз. семейство кривых.
Еслп мы возьмем две, как говорят, смежные кривия семейства, т.-с. две весьма близкие кривия (параметры которых между собой весьма мало отличаются), то оне обыкновенно пересекаются в одпой или нескольких точках. Так, например, окружности С и С иа фигура 30 пересекаются в точках Р и Q. Если теперь, сохраняя неподвижной одну из этих двух кривых, будем неограниченно приближать к пей другую кривую семейства, то эти точки пересечения обыкновенно неограниченно приближаются к пекоторым неопределенным предельным положениям. Так, например, когда окружпость О неограниченно приближается к С% то точки Р и Q’ стремятся к предельному положению Р и Q. Таким образом, на каждой кривой семейства получаются определенные точки, представляющия предельные положения точек их пересечения со смежными кривыми. Геометрическое место этих точек представляет собой огибающую дап ного семейства кривых. Для семейства, изображенного на фигуре 30, огибающая состоит из двух окружностей радиусов Л- -г и Л—г. Как мы видим на чертеже, эта огибающая касается всех окружностей огибаемого семейства. Это явление общее: огибающая всегда касается в общей точке той из огибаемых, которую она в этой точке встречает. Эволюта, как мы уже упомянули выше, есть пе что иное, как огибающая семейства нормалей в эвольвенте. Учение об огибающих играет значительную роль в прикладной математике, в особенности в мехапике, в учеиии о зацеплениях.
Мы полагаем, что мы в достаточной мере выяснили характер тех задач, связанных с предельным переходом, которые решаются дифференциальными методами в применении к плоским кривым. Исчерпать же этот материал здесь все равно невозможно. Мы переходим поэтому к кривым двоякой кривизны и здесь мы будем еще кратче.
Кривая называется кривой двоякой кривизпьт, есди
быстрее и изящнее, они больше отвечают духу геометрии. Таким образом чистая геометрия сохранила своих сторонников, ставивших себе задачей обработать синтетически тот материал, который выдвинула аналитическая геометрия. В этой широкой постановке задача, однако, не получила разрешения. Хотя Штейнеру и удавалось справляться средствами классической геометрии с труднейшими задачами вариационного исчисления, но эти работы остались изолированными, так сказать, случайными. Но сторонники чистой геометрии «сумели выделить дисциплину, которая не только исчерпывается синтетическими методами, но вовсе не нуждается в понятии о числе и о величине,—дисциплину, в которой принцип „geometria geometrice“ проведен до крайних пределов. Развитие этой дисциплины относится к концу XVIII и началу XIX столетия, а творцами ея должны быть признаны два французских математика—Понсле (Poncelet) и Шаль (Chasles) и два немецких—Мёбиус (Mobius) и Штейнер (Steiner); в руках Штаудта (в. Staudt) и Рейе (Reye) опа получила свое завершение. По преобладанию в пей метода проектирования опа получила название „проективной геометрии“; по принятое позже название „геометрии положения“ ((ieometrie der Lage) более соответствует содержанию дисциплины. В современном своем развитии она владеет средствами, во многих частях заменяющими методы аналитической геометрии; она послужила руководящей нитью для развития так называемой „новой алгебры“.
поверхность), М произвольная точка. Если прямая ОМ встречает образ S в одной точке Мто эта точка называется проекцией точки М на образ S из центра 0. Если мы возьмем в одной плоскости две прямия MNPQ и MNPQ (фнг. 41), то мы можем каждую точку первой прямой проектировать из любого центра О, расположенного в той же плоскости, на вторую прямую. Таким образом каждой точкЬ первой прямой устанавливается соответствующая точка второй прямой; это соответствие называется перспективой. Устанавливая это соответствие, мы смотрим на каждую прямую, как на ряд точек, и каждой точке одного ряда относим точку другого ряда {и обратно. Перспектива сводится к тому, что прямия NN, PPr QQсоединяющия соответственные точки, сходятся в одной точке 0, в центре проекций.
Совершенно аналогично тому, как здесь установлено нерспект. соответствие между точками двух прямых, может быть установлено также соответствие между двумя плоскостями; это е сделано в рубр. 4 отдела И-го. Перспектива занимала геометров очень давно в связи с вопросами, которым посвящен отдел×(смотрите ниже).
Уже в XVII столетии французский математик и архитектор Дезарг опубликовал впервые трактат о перспективе (G. Desargues, „Traite de la section perspective“, 1636), оказавший большое влияние на развитие идей Понсле и Шаля. Но два обстоятельства играют особенно важную роль.
Фигура 41.
Геометрия, котораи стябит себе задачей не оперировать вовсе над величинами, естественно, должна быть чужда всякой метрики; материалом проективной геометрии являются поэтому вопросы расположения, инцидентности и геометрического соответствия, насколько оно устанавливается геометрическими средствами (смотрите отдел I, в частности рубрику 4). В указанном здесь месте отдела И-го был уже ириведсп пример такого рода соответствия—так называемая перспектива. Этот прием играет в проективной геометрии наиболее важную роль; мы вынуждены поэтому к нему возвратиться.
Пусть 0 будет некоторая постоянная точка, S некоторый геометрический образ (линия, плоскость, другая
При систематическом развитии перспективы нельзя было, конечно, игнорировать того факта, что при перспективном соответствии двух прямых на каждой прямой есть точка, которой не отвечает точка другой прямой. На фигуре 41 точке L, лежащей в пе-771 ресечепии прямой 0L (параллельной прямой II), с пр. I, не отвечает точка на up. II, ибо проектирующий луч 0L последней не встречает. Это простое обстоятельство играет необычайно важную роль в систематическом развитии учения о nepcnt ктивЬ. Чтобы выйти из вознпкающ. отсюда затруднения, Дезарг вводит понятие о без-консчно-у дале иных точках; именно, он смотрит на две параллельные прямыя, как на пересекающияся в безконечно-удаленной точке; совокупность всех безконечно - удаленных точек плоскости образует безконечно-удаленную прямую, две параллельные плоскости пересекаются по безконечно-удаленной прямой. По введении этих понятий любия две прямия на плоскости пересекаются: непараллельные в конечной точке, параллельныя—в безконечно-удаленной. Точно так же всегда пересекаются две плоскости по конечной или но безкопечно-удаленной прямой. Но наглядпо, конкретно эти безконечно-удаленные образы трудно, а может быть даже и невозможно, себе представить. Вопрос > том, в какой мере допустима введение этих идеальных образов, вызывал большие споры. Как и многие другия геометрические идеи, они были введены полубезсознательно, с ннми более мир.нлись, чем признавали. Лишь в самое последнее время Клеим, Шур и другие вполне выяснили, почему эти идеальные образы пе могут вести к противоречию, эти рассуждения, однако, слишком сложпы, чтобы мы могли уделить им здесь место. Итак, с введением безконечно - удалепных элементов каждой точке двух перспективных прямых отвечает точка па другой: точке L па прямой I (фпг. 41) отвечает бсз-конечпо-удалепная точка прямой И.
Второе обстоятельство—вторая заслуга Дезарга—заключается в следующем: рассматривая 2 перспективных треугольника Л1NP и MNP (то есть 2 треугольника, расположенные таким образом, что прямия МЛ, NN1, РР (фпг. 42) сходятся в одной точке 0—центре перспективы), Дезарг обнаружил, что точки пересечения соответственных стороп этих треугольников (точка р—пересечение сторон MN и MN, точка т—пересечение прямых NP и NP и точка «—пересечение прямых МР и МР) расположены на одной прямой. Обратно, если 2 треугольника расположены таким образом, что точки пересечения соответственных сторон лежат па одной прямой, то эти треугольники перспективпы, то есть прямыя, соединяющия соответственные вершины, сходятся в одной точке. Это предложение
должно быть призпано первой осповпой теоремой проективной геометрии. Ея роль будет выяснена ниже, но самая теорема уже представляет собой характерный пример предложения, относящагося к геометрии положения, то есть совершенно чуждого всякой метрики. Однако, своей современной чистоты проективная геометрия достигла не сразу. Одно из основпых попятий, играющих доминирующую роль в проективпой геометрии, вводится у Шаля и Мёбиуса на основании метрических соображений, от которых проективную геометрию освободил только Штаудт. Мы будем следовать историческому развитью идей и, сообразно этому, начнем с метрического установления этого понятия.
Если точки М, Лг, Р (фигура 41) лежат на одпон прямой, то говорят, что точка N делит отрезок NP
МР в отношении При этом отрезки NP и
NM отсчитываются по величине и по знаку, то есть считаются положительными в одном направлении прямой и отрицательными в другом направлении. Когда
(40)
точка Лт, как на фпг. 41, расположена между точками М и Р, то отрезки NM и NP направлены в разпыл стороны, то есть имеют противоположные знаки, и предыдущее отпошение имеет отрицательное значение. Если же точка лежит впе отрезка РЛ, как, например, точка L па фнг. 41, то отрезки LP и LM направлены в одпу сторону и имеют одинаковые знаки; отпошение
LP
в котором точка L делит отрезок Р31,
имеет положительное зпачепие.
Если точки Р, М, N, L расположены па одной прямой, то частпое тех отношений, в которых втория две точки делят расстояние РМ, то есть
NP LP
Шг : Ш ~ ..
называется двойным или ангармоническим отношением четырех точек Р, М, N, L и обозначается символом (PMNL, как это уже отмечено в равенстве (45).
Самия элементарные свойства треугольников, опирающихся на отрезки NP, NM и LP и LM и имеющих вершины в точке О, обнаруживают, что NP _ LP __ sin NOP. sin LOP NM TJT ~ sin NOM·sin LOM если учитывать знаки углов так же, как и эпаки отрезков. Для краткости обозначим через р, m, и, I лучи ОР, ОЛ, ON, OL, а через (пр), (пт), (Ир), (Ит) будем обозначать углы NOP, NOM, LOP, LOM. Тогда правая часть равенства (46) будет построена совершенно апалогнчпо левой; опа называется двойным или ангармоническим отношением четырех лучей р, т, и, I, выходящих из общей точки 0 или, как говорят, принадлежащих одному пучку:
sin (пт) sin (Ит)
Предыдущее же соотношение (46) устанавливает следующее основное положение: если мы рассечем пучек лучей прямой линией, то ангармоническое отношение четырех точек на этой прямой всегда равпо апгармопическому отношению четырех лучей, проходящих через эти точки.
Пололспм опорь, что мы имеем дпа перспективных ряда точек I и II. Тогда апгармонпческое отпошение точек (PMNL) равно апгармопическому отношению лучей (ртпи). ИИо точно так же ангармоническое отношение точек (PMNL1) равпо ангармоническому отношению тех же лучей (р т пи). Следовательно
(PMNL)=(PMNL>)(48).
Мы приходим, таким образом, к следующему оспов-пому предложению: если два ряда точек свя-запы перспективным соответствием, то ангармоническое отношение любых четырех точек одного ряда всегда равно ангармоническому отношению соответствующих четырех точек второго ряда.
Но это соотношение может иметь место и без того, чтобы два ряда точек были связаны перспективой. Представим себе третий ряд точек L“, М“, N“, Р“, перспективный относительно второго, но при ипом центре проекции 0 (фигура 41). В таком случае этот третий ряд, вообще говоря, пе будет расположен перспективно относительно первого, т-е. прямия LL“, ММ“, NN“, РР“,. .., соединяющия соответствующияточки первого и третьяго ряда, не будут проходить через общую точку. Между тем, соотношение, аналогичное соотношению (47), будет иметь место:
(Р“ М N“ L“)=(PMNL),(49)
ибо каждое из этих двух ангармонических отношении равно {P’MNL). Ряды I и III называются проективными. Вообще, если два ряда точек связаны геометрическим с о о т-ветствиемътаким образом,что ангармоническое соотношение четырех точек всегда равпо ангармоническому отношению четырех других точек, то эти ряды называются проективными. Перспектива представляет частпыи случаи проектиппого соответствия. Ряды I и III на фигуре 41-ой, как было выяснено, представляют пример проективного, по не перспективного соответствия; одпако, оно осуществлено при помощи двух перспектив. Вот эта последняя сторона дела представляет собой общее свойство проектавпого соответствия двух рядов точек: оно всегда может быть установлено при помощи нескольких перспектив при различпых центрах.
Совершенно таким же образом устанавливается проективное соответствие между двумя пучками лучей. Как
(Г
вскользь уже было упомянуто, под пучком лучей разумеют совокупность прямых, расположенных в одной плоскости и проходящих через общую точку. Если пам дано 2 пучка, то мы можем установить между ними соответствие таким образом, чтобы каждому лучу одного пучка отвечал определенный луч другого пучка, и обратно. Е с и и при этом оказывается, что ангармоническое отношение четырех лучей всегда равно ангармоническому отношению четырех соответствующих лучей другого пучка, то такое соответствие называется проективным. Проще всего проективное соответствие между двумя пучками устанавливается следующим образом. Разсечем первый пучек 0 (фигура 43) прямой, коюрая даст в сечении с лучами пучка OL (I), ОМ (m), ON (п), ОР (р) точки L, М, N, Р. Теперь каждому из этих лучей отне сем тот луч пучка О, который пересекает наш прямую в той же точке. Это значит: лучу ОМ (т) отпесем луч O М (вглучу ON (п) отнесем луч ON (п) и так далее Теперь ясно, что любым четырем лучам р, т, n, I первого пучка отвечают четыре луча рг,туВ/,В, имеющие то же ангармоническое отношение, ибо ангармоническое отношение как первых, таки вторых четырех лучей равно ангармоническому отношению четырех точек Р, М, N, L. Такого рода простейшее проективное соответствие двух пучков называется перспективным. Аналогия с перспективой двух рядов точек совершенно ясна: два ряда точек находятся в перспективном соответствии, если прямыя, соединяющия соответственные точки, проходят через одпу и ту же точку—центр перспективы. Два пучка находятся в перспективном соответствии, если точки пересечения соответственных лучей лежат на одной прямой—па оси перспективы. ИИо возможны, конечно, проективные, по не перспективные пучки.
Пучки лучей и прямолинейные ряды точек суть простейшие образы проективной геометрии; их называют проективными образами первой ступени. Мы установила понятие о проективном соответствии между двумя рядами точек и между двумя пучками; может быть еще речь о проективном соответствии между пучком и рядом точек; это такое соответствие, при котором 4 лучам пучка отвечают 4 точки с тем же ангармоническим отношением. Если при этом каждый луч пучка проходит через каждую точку ряда, то проективное соответствие обращается в перспективное. Мы уже неоднократно осуществляли перспективное соответствие между пучком и рядом точек; так, на фигуре 41 пучек q, р,т, n, I перспективен ряду точек Q, Р, L; с рядом же Q“, Р“, он находится в проективном, по не в перспективном соответствии.
К числу образов первой ступени принадлежит еще пучек плоскостей, проходящих через общую прямую; одпако, чтобы не усложнять изложения, мы ограничимся сначала проективным соответствием в плоскости.
Если ангармоническое отношение 4-х точек (PMNL) равно—1, то говорягь, что оне образуют гармопи-чоскую группу или что точки Р, М разделяются гармонически точками IV, L. Для того, чтобы такое соотношение имело место, два простых отношения, из которых составляется сложное отношение (45), должны быть равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то есть должно быть
NP LP NM ~ LM
(50)
Это означает, что одна из точек N, L делит расстояние между точками Р, М внутренпе в том же отношении, в каком другая делит его внешне Если поэтому одна из точек N, L лежит между точками Р, Му то другая лежит вне отрезка. Если точки Р, Му N дапы, то построение четвертой точки L так, чтобы удовлетворить соотношению (50). не представляет затруднения. Написав же соотношение (50)
в видЬ:
NP
1Р
NM
ТИГ
(51)
мы видим, что всякий раз, как точки N и L разделяют гармонически пару точек Р, -1/, эти носледпия, в свою очередь, разделяют гармонически точки N и L.
Фон-Штаудту принадлежит заслуга сведения проективного соответствия исключительно к свойствам
Гармонического расположения точек; именно, он доказал следующее предложение: если два непрерывных ряда точек отпесепы друг к другу так, что любым четырем гармоническим точкам одного ряда всегдаотвечают четыре гармонические же точки другого ряда, то ангармоническое отношение любых двух точек первого ряда всегда равпо ангармоническому отношению соответствующих четырех точек второго ряда. Мы должны только под черкнуть обстоятельство, недостаточно выдвинутое ИИИтауд-том, что предложение это относится только к непрерывным рядам.
Это важное предложение дало Штаудту возможность определять проективное соответствие след. образ.: два ряда точек связаны проективно, если любым четырем гармоническим точкам одного ряда всегда отвечают четыре гармонические точки другого ряда. Ясно, что таким же образом может быть исключительно при немощи гармонических групп установлено проективное соотношение любых двух образов первой ступени.
Итак, для установления проевтивного соответствии необходимо предварительно установить только понятие о гармоническом расположении четырех точек или четырех лучей. Но это понятие, как мы видели, устанавливается при помощи метрических соображении:
нужно мерить отрезки и определять их отношение Штаудт, опираясь на теорему Делагира о полиом четырехугольнике, освобождает понятие о гармонической группе, а вместе с тем и проективную геометрию от каких бы то ни было метрических соображений.
Пусть MKPQ (фигура 44) будет обыкновенный четырехугольник, КМ, MQ, QP, РК его стороны, РМ и KQ его диагонали. Если мы продолжим противоположные стороны РК и QM, КМ и PQ до пересечения в точках R и S, то получим фигуру, которая носит название полного четырехугольника; точки R и S называются дополнительными вершинами, а прямая RS—дополнительной диагональю. Таким образом получаются 3 диагонали, каждая из которых пересекается двумя другими. Основная теорема, принадлежащая Делагиру, заключается в том, что каждая диагональ полного четырехугольника делится гармонически двумя другими диагоналями; например, диагональ РМ рассекается диагоналями KQ и RS в точках У и L таким образом, что точ и Р, М разделя- (
ются гармонически точками У,L; точпо так же точки h Q разделяются гармонически точками У,Г, а точки R,S разделяются гармонически точками L, Т, где Т есть пересечение диагоналей KQ и RS.
Это обстоятельство Штаудт принимает за определение гармопического расположения четырех точек. Иначе говоря, Штаудт определяет гармоническое соответствие следующим образом: четыре точки па одной прямой расположены гармонически, если две из них служат противоположными вершинами полного четырехугольника, а через две другия проходят две его диагонали. Это определение совершенно чуждо каких-либо метрических соображений и освобождает от них всю проективную геометрию. Однако, самое определение требует еще существенного обоснования. В самом деле, это определение фактически устанавливает следующее правило для построения 4-ои гармонической точка: если намь даны 3 точки Р,У, М на одной прямой, то через одну из пих, скажем, через Р, проведем произвольно две прямия РАи PQ; через точку У проведем также произвольно третью прямую, пересекающую названные две прямия в точках К и Q; теперь проведем прямия КМ и QM, которые в пересечении с прямыми РК и PQ дадут точки R и S; прямая RS пересечет исходную прямую РМ в точке L, которая и служит четвертой гармонической для исходных 3-х точек; определеннее, точка L вместе с У разделяют гармонически пару точек Р, М.
По при этом построении мы ввели три произвольные прямыя: РК, PQ, KQ. Спрашивается, не зависит ли иоложение точки L от того, как эти 3 прямия выбраны, то есть определяется ди точка L этим построением однозначно. Это очевидно, если гармоническое расположение определяется предварительно метрически и если доказана теорема Делагвра; но если мы отрешаемся от предварительного метрического определения и хотим определить точку L исключительно указанным построением, то мы должны доказать однозначность точки L, к которой построение приводит. Это действительно доказывается при но мощи теоремы Дезарга, и этим, в первую очередь, определяется кореппоо значение этой теоремы в проективной геометрии.
Итак, ход идеи получается такой. При помощи построения полного четырехугольника устанавливается понятие о четвертой гармонической точке; при помощи теоремы Дезарга устанавливается однозначность этой точки; четыре гармонических луча определяются как такие, которые пересекаются прямою линией в 4 гармонических точках; по сохранению гармонического расположения 4 элементов определяется проективное соответствие образов первой ступени.
Но теорема Дезарга имеет решающее зпачение еще в одном основном предложении проективной геометрии, которое заключается в следующем: проективное с о ответствие двух образов первой ступени вполне определено, если указано, какие три элемента одного образа отвечают трем данным элементам другого образа; например, проективное соответствие двух пучков вполне определено, если указано, какио три луча одного пучка соответствуют трем лучамдругого пучка. Это предложение по преимуществу принято называть основной теоремой проективной геометрии.
Мы можем теперь перейти к важнейшим приложениям этих идей. Положим, что в одной плоскости расположены два пучка с центрами в точках 0 и О. Каждый луч а, Ь, с., первого пучка приведем к пересечению с соответствующим лучем а, Ь, с второго пучка; получим точки А, В, С Каково будет геометрическое место этих точекъе Если пучки не только проективнм, по и перспективны, то эти точки, мы знаем, лежат на прямой линии; по каково геометрическое место этих точек, если паши пучки связаны проективно, но пе перспективное Штейнер первый показал в совершенно общем виде, что это есть коническое сечение и тем положил начало проективному обоснованию учения о кривых 2-го порядка. Мы таким образом снова приходим к тем же замечательным кривым; конечно, повый метод нс может дать никаких метрических свойств конических сечений; но зато все проективные их свойства раскрываются с необыкновенной простотой и изяществом. Разсмотрим, напрпмер, первые шаги в этой теории.
г
Заметим, что вершины двух пучков О а О сами принадлежат нашему геометрическому месту, потому что луч 00 (первого пучка) пересекается с соответствующим ему лучем в точке О, а луч ОО (второго пучка) пересекается с соответствующим ему лучем первого пучка в точке О. Положим теперь, что нам дано пять точек О, O, А, В, С, из которых никакие 3 пф лежат на одной прямой. Две из этих точек примем за вершины пучков и отнесем лучам О А, ОВ, 00 первого пучка, лучи О А, OВ, O С—второго. Этим проективное соответствие двух пучков установлено; следовательпо, установлено и геометрическое место точек пересечения соответственных лучей. Таким образом доказывается, чго коническое сечение вполне определяется 5 своима точками.
Каждый луч ОА первого пучка пересекается с соответствующим лучем второго в точке А, отличной от 0; только луч 0S, которому во втором пучке соответствует луч ОО, пересекается с последним только в точке 0. Следовательно, прямыя, проходящия через точку конического сечения, пересекают его каждая еще в одлой точке и только одна из нихвстречает коническое сечеиие только в одной точке: иначе говоря, через каждую точку конического сечения проходит одна и только одна касательная к нему; всякая же другая прямая, проходящая через точку конического сечепия, встречает его еще в одной, но только в одной точке.
Мы не имеем возможности, конечно, развивать здесь всю проективную теорию конических сечепий. Ограничиваясь только выяснением основной идеи, приведем еще одно из замечательнейших предложении, сюда относящихся,—теорему Паскаля: Во всяком шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.
Одпако, на учении о полюсах и полярах в проективном изложении мы несколько остановимся. Пусть О будет произвольная точка в плоскости конического сечения, но ему не принадлежащая. Проведем через эту точку произвольную прямую, встречающую коническое сечение в точках К и L. Пусть М будет точка, которая вместе с 0 делит гармонически отрезок KL. Если прямая вращается вокруг точки 0, то вместе с этим перемещается точка М и описывает, как оказывается, прямую линию. Эта прямая и пазываится полярой точки О относительно конического сечеиия.
| Если точка О лежит вне конического сечения, то точка М лежит между К и L. Lcxu поэтому секущая вра- щается таким образом, что точки К и L сближаются между собой, то к ним приближается и расположенная ‘между ними точка 21. Когда обе точки сливаются в одну, то с ними сливается и точка 2И-, иными словами, когда секущая обращается в касательную, то поляра проходит через точку касания. Это возвращает пас к прежнему определению поляры
С учением о полюсах я полярах находится в тесной связи очень важная в проективпой геометрии идея—начало двойственности; оно заключается в следующем, Проективная геометрия разматывается из известных положений, касающихся расположения и инцидентности основных образов. Возьмем следующия два из этих положепий: каждия дне точки определяют проходящую через пих прямую; каждия две прямия определяют точку, через которую оне обе проходят (как мы сказали выше, последнее положение не имеет исключений в проективной геометрии). Мы формулируем теперь этп предложения немножко иначе, пользуясь терминологией, которую мы уже указали в отделе I (рубрика 3). Точка и прямая называются инцидентными, если прямая проходит через точку или точка лежит па прямой. При таких условиях предыдущия два положения можно формулировать так: к а д; д ы я две точки определяют инцидентную с ними прямую; каждия две прямия определяют инцидентную с пи-ми точку. Этп два положения таковы, что одно переходит в другое, если мы заменим друг другом термины „прямая“ и „точка“. Замечательно, что таковы все положения, из которых разматывается проективная геометрия; они переходят одно в другое, если заменить эти термины „точка“ и „прямая“ друг другом, Вследствие этого каждая теорема проективной геометрии переходиг в новую теорему, если термины „точка44 и „прямая“ замелить друг другом. Именно,
в соотношении двойственности находятся полюс и поляра друг к другу. При замене понятии „точка41 и .прямая44 друг другом свойства полюса обращаются в свойства поляры, и обратно.
Выше мы выяснили, как образуется кривая второго порядка при помощи двух проективных пучков лучей. Постараемся выяснить, как можно преобразовать эту теорию по принципу двойственности. Два пучка прямых заменим двумя рядами точек. Если эти ряиы расположены перспективно, то прямыя, соединяющия соответственные точки, проходят через общую точку-центр перспективы. Но если эти ряды связапы проективно, но не перспективно, то прямыя, соединяющия соответственные точки, не пересекаются в одной точке, а огибают пекоторую кривую (фигура 46). Эта кривая оказывается коническим сечением.
Коническое сечение может быть рассматриваемо, как геометрическое место точек пересечения соответственных лучей двух проективных пучков или как огибающая прямых, соединяющих соответственные точки двух проективных рядов. Таковы две точки зрения, связанные принципом двойственности.
Теорема Паскаля по принципу /-воиствегности переходит в теорему Бриаишона: во всяком шестиугольпи-ке, описанном около конического сечения, прямыя, соединяющия попарно противоположные всргаипы, проходят через одну точку.
Мы с достаточной подробностью выяснили основные моменты в учении о проективном соответствии образов первой ступени и ограничимся лишь самыми краткими указаниями относительно проективного соответствия более сложи ых образов.
Образами второй ступени являются плоскость, пак совокупность точек, плоскость, как совокупность прямых; связка прямых, то есть совокупность прямых в пространстве, проводящих через одну точку; связка плоскостей, то есть совокупность плоскостей, проходящих через общую точку. В рубрике 4 отд. И-го было выяснено, как устанавливается перспективное ! соответствие между точками двух плоскостей. Проек-; тявное соответствие между точками двух плоскостей ! определяется тем, что четырем гармоническим точ-как одной плоскости исегда отвечают четыре гармонические точки другой плоскости. На том же принципе основано определение проективного соответствия дру“ гих образов высших ступеней.
Чрезвычайно любопытно, что всякое геометрическое соответствие в плоскости или в пространстве, при котором прямой линии всегда соответствует прямая же линия, представляет собою проективное соотетствиф. С этой точки зрения проективное соответствие часто называют еще коллинеацией.
Подобно тому, как при помощи проективных пучков определяется кривая второго порядка, при помощи проективных связок определяются поверхпости второго порядка. Но, мало того, в том же порядке идей могут быть даны методы построения алгебраических кривых более высоких порядков. Это обобщение может идти различными путями: путем установления более сложных проективных рядов и путем перенесения идеи проективного соответствия на болеф сложные образы, например, па пучки конических сечении. Относящияся сюда исследования носят ужф слишком специальный характер и но могут найти места в настоящем изложении. Изложенное выше, полагаем, достаточно выясняет, что на ряду с аналитической геометрией выросли новые строго геометрические методы исследования, глубоко отличающиеся от приемов классической геометрии и дающие чистому геометру орудие для соревнования с аналистом; и насколько сильно это орудие, можно судить по тому, что сведения, которыми мы обладаем относительно метрики высших алгебраических кривых, незначительны по сравнению с известными нам проективными свойствами их.
Нужно к этому прибавить, что в последния два десятилетия во франции получило развитие новое учение, занимающее как бы средпеф место между проективной и метрической геометрией. Демуан (Le-„ тоипф), Брокар (Broccard), Лезаа (Lai-
L sant), Нейберг (Neuberg) и др. развилиучение об особенных точках треугольников и многоугольников в целую новую дисциплину, которая по своим методам особенно приближается к классической геометрии. Эта дисциплина получила название „новой геометрии треугольника44. Результаты этих методов отличаются необычайным изяществом, но они носят характер как бы случай пых, более остроумных, нежели глубоких открытий. Какого-либо общого метода геометрического исследования эти идеи с собою не принесли.
IX. Геометрография.
Уже в античную эпоху греческих геометров черезвычайно занимали так называемия задачи на построение. Мы уже указывали (смотрите в тексте) сочинения греческих геометров, посвященные исключительно задачам па построение; в „Началах Евклида эти задачи чередуются с предложениями, и решение их имеет целью, главным образом, доказать существование определенных образов. На эти задачи можно смотреть с двух точек зрения. Болеф теоретическая точка зрения заключается в том, что одпими геометрическими элемента-тами определяются другие, и задача заключается встемьи среднего образования; ему принадлежит главный труд по составлению уставов о гимназиях (1871), о реальных училищах (1872), об университетах (1884) и др. Ум. в 1911 г.
Георгиевский, Павел Иванович, политико - эконом, родился в 1857 г., с 1890 г. проф. полит. экономии в нетерб. универс. Его труды посвящ. разработке вопросов прикладн. экономии: „Международная хлебная торговля“ (1885), „Финансовия отношения государства и части, жел.-дор. обществъ“ (1887), „Историч. очерк развития путей сообщения в XIX в.“
(1893), „Указатель русской экон. литературы“ (1903) и др.
Георгиевский Сергей Михайлович
Георгиевский, Сергей Михайлович, известный синолог, родился в 1851 г., по окончании филолог. факультета в Москве был учителем в Костроме, в 1875 г. поступил на восточн. факультет петерб. унив., а по окончании его объездил Китай, Японию, Америку и Зап. Европу. В 1885 г. за диссертацию „Первый период ки-тайск. истории“ получил степень магистра, а в 1889 г. задиссерт. „Анализ иероглифич. письменности китайцевъ“—степень доктора кит. словесности. С 1890 г. он — проф. китайск. словесности на факульт.восточн. языков. Написал еще: „Принципы жизни Китая“ (1888), „О корнев. составе китайск. языка в связи с вопросом о происхождении китайцевъ“ и друг. Ум. в 1893 г.
Георгиевск, безуездн. г. Терской области, пятигорск. округа, 15.528 ж. В 1783 г. здесь заключ. был договор, по котор. Грузия присоед. к России.
Георгий, удельные князья, см. Юрий.
Георгий, имя двенадцати грузинских царей. См. Грузия—история.
Георгий, патриарх александрийский с 016 по 630 г. От него осталось два произведения: „Житие Иоанна Златоуста“ и „Александрийская хроника“.
Георгий, Амартол, см. Амартол.
Георгий Александрович, великий князь, второй сын Императора Александра ИП, родился в 1871 г., проходил службу во флоте, по вступлении на престол Государя Императора Николая Александровича был объявлен наследником цесаревичем. Состоял
шефом 93 иркутского полка. Последние годы жизни провел в своем кавказском имении в Аббастумане, где и скончался от туберкулеза в 1899 г.
Георгий Писида, визанг. писатель середины VII в Автор весьма полезн. в фактич. отношении хроник „Истории Ираклия“, „Истории Аваровъ“ и др.
Георгий Подебрад (Podiebrad), король Богемии, родился в 1420 г. в знагн. гусситской семье, в смутное время после смерти короля Сигизмунда выдвинулся как вождь гусситов-утра-квистов (1444), в 1448 г. взял Прагу, с 1451 г. наместник Богемии, в 1458 г. избран богемским королем. Умеренная политика по отношению к католикам помогла Г. в короткое время поставить Чехию на уровень могущественной державы, и он мечтал уже об императорской короне, когда в 1461 г. настойчивость утраквистов заставила Г. порвать с папским престолом. Папа объявил против Г. крестовый поход. Император Фридрих ИП заключил против него союз с венгер. королем Матвеем Корвином, котор. захватил большую часть Моравии и в 1469 г. провозгласил себя королем Богемии. Чтобы упрочить положение Богемии, Г. пришлось, на созванном им в Праге сейме, настоять на признании наследником богемского трона польского наследного принца. Поддержка Польши была обеспечена, но в 1471 г. Г. умер, успев только отчасти осуществить свои планы. См. Чехия.
Георгий св Великомученик Победоносец
Георгий св., Великомученик, Победоносец, один из наиболее чтимых и популярных святых христианского мира. По Метафрасту, св. Г.—знатн. римский воин, родом из Каппадокии, замученный и обезглавленный в 303 г. в Никомидии за проповедь христианства. Днем его смерти считается 23 апр., кроме того память его празднуется церковью еще несколько раз в году. В русской истории особенное значение имел осенний Юрьев день 26 ноября, к которому в докре-постн. эпоху было приурочено право ухода крестьян от помещика. Теперь в России 26 ноября—военный праздник георгиев. кавалеров. Кроме каконического церковного предания о св. M, с его именем связано множество апокрифических сказан., легенд, поэм и религиозных пережитков глубокой, часто языческой, старины, причудливо переплетающихся с народным эпосом у арабов, грузин, осетин, романских и германских народов. К чертам христианского святого в народном воображении присоединились черты полузабытого языческого божества. В России празднование его, под именем Егория, Юрия, сопровождается разнообрази, обрядами, указывающими на связь его с языч. божествами, покровит. земледелия и скотоводства. Особенно широкое и повсеместное распространение получило апокрифическое сказание о св. Г., трижды замученном до смерти персидским царем Дадианом и трижды воскресшем, пока, наконец, в четвертый раз ему не отсекли главу. Этот апокриф и „Чудо св. Г. о змее и о девице“ легли в основу и русского народного стиха о Егорин Хоробром, устроителе земли русской. Спасение св. Г. дочери языческого царя от страшного змея, обратившее целое царство к христианской вере, является сюжетом множества народных песен греков и балканских славян. Со времени Дмитрия Донского изображение Г. Победоносца на коне, поражающого змея, становится эмблемой Москвы (современный герб г. Москвы), позже оно вошло в состав государственного герба (в щите на груди двуглавого орла). В Запади. Европе св. Г. считается патроном Англии, Португалии и Аррагонии. О св. Г. в русск. народи.творчестве см. А. Кирпичников, „Св. Георгий и Егорий Храбрый“ (1879), ср. также Gorres, „Der Ritter St. G. in der Geschichte, Legende und Kunst“ (в Zeitschr. f. wissenschaftl. Theologie XXX, 1887, Heft. 1).
Георгий, Синкелл, см. Синкелл.
Георгий Скрипица, ростовский священник в начале ХВИ-го века. В ответ на постановление собора 1503 г. написал: „Написание вдового попа Г.
С. из Ростова града о вдовствующих попехъ“ (напеч. в „Чтен. ист. и древ. Рос.“ 1847—8, кн. 6), в котором доказывает неправильность соборного постановления, запрещающого вдовым попам священнодействовать. Впоследствии собор 1551 г. изменил это постановление согласно с доводами „написания“. См. Голубинский, „История русск. церкви“ (т. M, ч. I, стр. 621—2).
Георгий Трапезундский греч ученый и философ
Георгий Трапезундский, греч. ученый и философ, один из пионеров возрождения классицизма в Италии, родился в 1395 г. на о. Крите; в Италию прибыл в 1430 или 1438 г. Он обратил на себя внимание в качестве переводчика и решительного по-след. Аристотеля и сделался секретарем папы Николая V, большого поклонника новых веяний. Резкие нападки самоуверенного и сварливого ученого на учение Платона, успевшее уже пустить корни (ср. энерг. отповедь Виссариона „In calumniatorem Platonis“), заставили Г. покинуть Рим и поселиться в Неаполе; умер в большой бедности в 1484 г.
Георгия (Georgia), южн. штаг С.-Ам. союза, между шт. Алабамой и Атлан-тич. океан., 153.933 кв. км.; северн. часть гориста, с богатыми минеральными залежами, средняя, холмистая, покрытая плодородным черноземом, спускается к ю. и ю.-в. в долину с наносным илом, песками и болотами, пригодными для рисовых плантаций. Орошается реками Севенна, Оджичй, Альтамаха, Чаттагучи, Флинт и мног. друг. мелк. р. и их притоками, образующими при впадении в океан мно-гочисл. плодородии мелкие острова-дельты. Климат здоровый, за исключением прибрежных малярийных болот. НаселениявъИЭИОг.было 2.609.121 человек (в 1900—46,7% негров). Неграмотных в 1900 г. счит. 31,6% для всего насел. (свыше 20 л.) и 56,4% для негров. В народи, школах в 1909 году было 508.403 уч. и 10.896 учит. Высш. образоват. учр.—2 унив. (в Афинах и Атланте), 5 колледжей и 1 технич. с общ. числ. студ. 2842.— Главн. занятие—земледелие (хлопчато-бум., пшен., сахарн., табачн. плантации). Минер. бог.: золото, серебро, камеи, уголь, прекрасный мрамор и др., всего в 1908 году добыто на 5,2 миллионов долл. Фабричн. предпр. в 1905 г. было 3.219 с 98.853 раб.(хлопчатобум. фабр., лесо-пильн.зав.,мельн.и пр.). Знач. экспорт.
Главн. гор. Атланта (154.839 лсит.). Главы, порт—Сэвенна. Законод. уч-режд.—сенат из 44 член. и палата депутатов из 184 ч., избираем. на 2 г. В конгрессе Г. представлена 2 сенатор. и 11 депут. В администр. отнош. делится на 146 графств. Губернатор избирается насел. на 2 г.— Г. заселена англичанами в 1733 г., в 1852 г. после упорной борьбы с испанцами объявлена английск. колонией, в 1861 г., во время граждан. войны, примкнула к южн. федерации.
Георгия (фр. Georgie, нем. Georgien, англ. Georgia), название Грузии (сж), принятое во всех европ. языках.
Георгия св. орден, см. ордена.
Георгия св. остров, см. ИИрибылова острова.
Георг имя нескольких английских королейГ I
Георг, имя нескольких английских королей.Г. I, сын курфюрста ганноверского Эрнста Августа и Софии, внучки короля Якова I (дочери курфюрстины пфальцской Елизаветы Стюарт и несчастного курфюрста Фридриха У). Он родился в 1660 г. и в 1698 г. наследовал своему отцу на ганноверском престоле. Он был типичным мелкодержавным немецким князем, окружал себя метрессами, неудачно копировал франц. придвор. пышность. Акт о наследовании (Act of Settlement, 1701) назначил его наследником британского трона на случай, если королева Анна умрет бездетной. После ея смерти (1714) он был призван англ, правительством и 31 окт. коронован в Лондоне. Он передал власть вигам, усилиями которых английская корона досталась ему, а не католическим потомкам Якова II, и почти не вмешивался в управление. Кстати он до конца жизни и не мог выучиться как следует английскому языку и гораздо больше любил свой полумещанский ганноверский двор, где он был полновластным государем, чем скованное политическими традициями положение монарха Великобритании. Настоящим правителем Англии при нем был Роберт Уолполь. Г. умер в 1727 г. Ср. Великобритания, IX, 100/137. См. L. Melville, „The First George11 (1908).
Г. II, сын Георга I, родился в 1683 г.,
со времени вступления отца на английский престол носил титул принца уэльского, сражался под начальством Мальборо в войне за испанское наследство; на престол вступил в 1727 г. Правил государством не он, а его министры, сначала Уолполь, потом Пэльгемы, старший Питт. Сам он не обладал никакими дарованиями; на войне не возвышался никогда над уровнем фельдфебельского отношения к делу, хотя лично был храбр. Дома его всегда больше всего интересовали мелочи. Он был скуп и любил считать свои доходы, гинея за гинеей. Ум. в 1760 г. Ср. Великобритания, IX, 100/137. См. анонимн. „History of George П“.
Г. Ill, внук Георга II, сын рано умершого принца уэльского фредерика, родился в 1738 г., вступил на престол в 1760 г. Воспитание, полученное им под руководством лорда Бьюта, развило в нем замкнутость ии упрямство, и эти особенности принесли много бед Англии, когда Г. сделался королем. Самым выдающимся фактом его царствования, с точки зрения его личной биографии, была его попытка идти наперекор установившимся конституционным традициям и править вопреки парламентскому большинству. Протежирование Норту, министерство „друзей короля4 и все подобные затеи стоили Англии ея американских колоний. Только с 1783 г., когда руководство политикой перешло в руки Питта младшего, Англия стала оправляться от ударов первой половины царствования. И все-таки еще королеве и Бьюту часто удавалось влиять на него. С 1765 г. у Г. стали появляться признаки умственного расстройства, которые сначала не казались опасны, а потом начали усиливаться все больше и больше. В 1810 г. безумие овладело королем окончательно; было назначено регентство. Последние годы Г. прожил безвыездно в Виндзоре; под конец жизни он ослеп. Ум. в 1820 г. Ср. Великобритания, IX, 137/170. См. BecMes Wilson,G. HI, as Man, Monarch and Statesman44 (1907).
Г. IV, старший сын Георга III, родился в 1762 г., получил блестящее воспитание, в юности дружил с вигами, противниками неконституционной политики отца, но потом мало-по-малу дурные наклонности взяли в нем верх. Его кутежи, его азартные игры, его распутство очень быстро сделались главным содержанием скандальной хроники того времени. Он тайно женился на католичке, Марии Фицгер-берт, молодой, очень красивой вдове одного аристократа, а несколько лет спустя, когда правительство обещало уплату его долгов и увеличение содержания, развелся с ней и женился на принцессе Каролине Брауншвейгской (1795). Год спустя, после рождения дочери, он разошелся с ней. В январе 1811 года, когда душевная болезнь его отца была объявлена неизлечимой, был назначен регентом, но власть его, применительно к его нравственной ненадежности, была сильно ограничена парламентом. В 1820 г. он вступил на престол, а в 1821 г. затеял тот самый скандальный бракоразводный процесс против королевы Каролины, в котором он был кругом неправ и который уронил его авторитет в глазах общества окончательно. Он умер в 1830 г. Ср. Великобритания, IX, 170/175. См. Fitzgerald, „The life of G. IV“ (1881, 2 т.).
Г. V, старш. сын кор. Эдуарда VII, родился в 1865 г., проходил морскую службу, в 1892 г. получил титул герцога иоркского, в 1893 г. женился на принцессе Мэри Тэк. При вступлении на престол отца сделался принцем уэльским и отправился в большое путешествие по британским колониям. 6 мая 1910 г. по смерти отца вступил на престол. В 1911 г. предпринял поездку в Индию. Его считают настроенным более консервативно, чем был Эдуард VII.
Георг, Благочестивый, маркграф браыденбург.-ансбахский, поборник реформации. Родился в 1484 г. Управлял Ансбахом с 1515 по 1527 г. совместно со своим братом Казимиром, потом один. Работал над введением там реформации; под его влиянием брат его Альбрехт, магистр Немецкого ордена, превратил орденское государство Пруссию в светское государство, а Иоахим II, курфюрст бранденбургский, перешел в лютеранство. Умер в 1543 г.
Георг, Бородатый, герцог Саксонский, ярый враг реформации, заслуживший от Лютера прозвища: „Глупого Юнкера“, „Дрезденского палача“ и „Апостола Дьявола“. Родился в 1471 г., готовился к духовной карьере, но изменил ей, женился и в 1500 г. сделался герцогом. Он не отрицал вполне необходимости церковной реформы, но она должна была по его мнению исходить от имперской власти и не касаться догматов католической веры. Крестьянская война и анабаптистское движение еще усилили его ненависть к реформации, он стал во главе католической партии и жестоко преследовал еретиков, подвергнув обыскам церкви и даже лейпцигский университет. Безуспешно пытался лишить престола брата своего и наследника Генриха, перешедшого в протестантизм. Ум. в 1539 г.
Георг, король Саксонский, родился в 1832 г., кронпринцем участвовал в австро-прусской войне 1866 г. и франкопрусской 1870/71 г. Командовал корпусом при Седане и при осаде Парижа. В 1888 г. был произведен в генерал-фельдмаршалы, в 1902 г. вступил на престол. Много шуму произвело опубликование социалистической газетой „Vorwarts“ указа его против дурного обращения с солдатами. Ум. в 1904 г.
Георг I король эллинов род в 1845 г
Георг I, король эллинов, родился в 1845 г., сын Христиана IX, короля датского. Избран королем в 1863 г. после изгнания короля Оттона. Г. править в Греции в полном согласии с греческой конституцией, хотя не колеблется в случае необходимости пользоваться своими прерогативами в полном объёме (смотрите Греция—история). В 1867 г. вступил в брак с велик. кн. Ольгой Константиновной и имеет 5 сыновей и одну дочь.
Георг, греческий принц, сын кор. Георга I, родился в 1869 г., некот. время командовал флотом в войне против Турции (1897 г.); сопровождал имп. Николая II, в бытность его цесаревичем, в путешествии на Восток, где спас ему жизнь оть напаз-шого на него японца. В 1898—1906 г.
был генералыи. коммисаром (гармо-стом) автономного о. Крита.
Георг V, король ганноверский, родился в 1819 г., ослеп в детстве, вступил на престол в 1851 г. Крайний реакционер, он отменил конституцию 48 г., несмотря на присягу пытался также отменить катехизис Лютера и заменить его новым, но встретил резкий отпор и принужден был даже составить либеральный кабинет (1862). В войне 1866 г. примкнул к Австрии, но армия его очень быстро сдалась пруссакам. Г. лишился престола, и Ганновер был присоединен к Пруссии. Последние годы жизни жил за границею, делая попытки вернуть себе престол (смотрите вельфскгй фонд). Ум. в 1878 г.
Георг - Вильгельм, курф. бранденбургский, родился в 1595 г., вступил на престол в 1620 г. Слабовольный и расточительный, он проводил время в пирах и попойках и не решался занять какой-нибудь определен. позиции в 30-летней войне. Сначала поддерживал императора, позволяя Валенштейну хозяйничать в Бранденбурге; зятю же своему, Густаву Адольфу, отказал в помощи, боясь, что последний захватит Померанию. Вынужденныйугрозами, он заключил, однако, в 1631 г. союз с Швецией, но в войне участвовал очень мало и уже в 1635 г. заключил мир с императором. Шведы осадили тогда Бранденбург и жестоко разорили страну. Г. умер в 1640 г.
Геотектоника или просто тектоника
Геотектоника, или просто тектоника, название той главы геологии, которая изучает внутреннее строение земной коры, зависящее от характера расположения слагающих ее слоистых горных пород. Главными формами расположения слоистых горн. пород являются: 1) горизонтальное положение; 2) наклонное положение; 3) складки—слоистая толща собрана в складки; 4) флексуры— слои делают но некоторой линии коленообразный, односторонний перегиб; 5) сбросы— одна часть слоистой толщи опустилась относительно другой. Выяснение внутреннего строения, или архитектоники, изучаемого пункта земной коры имеет большое значение. Только знаяархитектонику, мы можем составить себе ясное представление о строении исследуемого участка, о залегании на той или иной глубине определенных слоев. А. Н.
Геотермо метр, или почвенный термометр, служит для измерения температуры почвы на разных глубинах. В самом верхнем слое почвы, до глубины 0,1 метра, большей частью пользуются коленчатыми Г. без оправы, для глубин от 0,1 до 0,4 метра—коленчатыми Г. в стеклянных или эбонитовых оправах; на больших глубинах устанавливаются I1. в металлических или деревянных оправах, погружаемые в длинные трубы, которые должны выдаваться над почвой от 0,3 до 1,0 метра, смотря по толщине снегового покрова в данной местности. Для глубоких Г. в последнее время в России употребляют эбонитовия трубы, так как теплопроводимость таких труб, с деревянными стержнями для укрепления Г., довольно близка к теплопроводности наших почв и поэтому оне не будут передавать зимою тепло снизу вверх и летом сверху вниз. Термометры—обыкновенные ртутные, но чтобы дать наблюдателю возможность спокойно вытянуть Г., погруженный на желаемую глубину почвы, и отсчитать его показания, шарик Г. должен быть окружен дурно проводящей тепло массою—салом или парафином. Наблюдения производятся на глубинах до 5 метров и только в исключительных случаях, где подпочвенная вода на большой глубине и почва твердая, опускают Г. до больших глубин. Беккерель заменил обыкновенные Г. термоэлектрическою цепью из двух разнородных хорошо изолированных металлических проволок. Один спай помещается на известной глубине в почве, другой находится в комнате и погружен в сосуд с водою или маслом, куда опущен чувствительный термометр. При разности температур в жидкости и в почве в цепи явится ток, сила которого измеряется гальванометром и дает температуру почвы на соответствующей глубине. Из самопишущих Г.
употребляют толуоловые, которые закапываются на желаемую глубину и при помощи тонкой металлической трубки соединяются с обыкновенным тонкостенным резервуаром термографа Ришара. В последнее время появились самопишущие Г. Календеря. Па желаемой глубине закапываются металлические термометры, которые соединяются аккумулятором и мостиком Уйтстона. При изменении температуры в почве изменяется сопротивление, и самодействующий мостик Уйтстона устанавливает прежнее равновесие сопротивления, причем перемещается стрелка на бумаге и отмечает изменение температуры почвы. Э. Лейст.
Геотропизм, см. ‘растение.
Геофизика, см. география, XIII, 249. Геоцентрическая система мира, в астрономии, система, считавшая центром мироздания землю, которая признавалась неподвижной. Подробно изложена была у Птоломея и господствовала до эпохи Возрождения. См. астрономия, IV, 201.
Геоцентрическое положение светила
Геоцентрическое положение светила, положение светила на небесной сфере для воображаемого наблюдателя, находящагося в центре земли.
Гепард, или охотничий леопард, Cynailurus, род кошек, характеризуется высокими ногами и собачьей посадкой тела; голова и хвост кошачьи; когти не вполне втягиваются и поэтому тупятся. 2 вида: С. jubatus, азиатский Г. с короткой гривой, и С. guttatus, африканский Г., без гривы. азиатский Г., или чита, до 75 см. длины, высотой до 60 см., хвост до 60 см., мех довольно длинный светло-желтого цвета с черными и бурыми пятнами на спине, брюхе и хвосте. Африканский Г. таких же размеров, оранжево-желтого цвета с белым брюхом, без пятен. азиатский I. живет в степях ио.-з. Азии, питается гл. обр. антилопами, к которым сначала подползает, затем догоняет их вскачь. Ловкость и быстрота его изумительны. Г. легко приручаются, в неволе очень кротки и ласковы, легко дрессируются и поэтому издавна служили охотничьими животными, в особ. для ловли антилоп, во многих
Государствах ю.-з. Азии, нередко привозились и в Европу. л/. Н.
Гепатит, см. цирроз.
Гепиды, герм. народ, родственный готам, жили в серед. Ill в по нижнему теч. Вислы; в 370 г. появляются на Дунае, но вскоре покорены гуннами; по смерти Аттилы (453) жили по Тиссе между Дунаем и Алутой. В 489 г. разбиты Теодорихом В. на Саве, после чего часть их слилась с остготами. В 567 г. остаток племени разгромлен лангобардским кор. Альбомном; кор. Кунимунд, с частью своего народа, погиб в битве, а дочь его Розамунда сделалась женою Аль-боина. С этого времени имя Г. исчезает из истории.
Геппинген (Goppingen), город в Вюртемберге, на р. Фильс, 22.361 жит., значнт. промышленность.
Гептаметр (греч.), 7-стопный стих.
Гептаны, С7Н]В, углеводороды предельного ряда; теория предсказывает 9 изомеров, из которых многие получены. Наиболее важны: 1) нормальный Г., СН3(СН2)5СН3, получается при перегонке нефти, а также перегонкой с водой живицы калифорнской пихты; последний продукт представляет летучую жидкость, известную в торговле под назв. абиетина, употребляется для вывода пятен и истребления насекомых. Кип. при 98°, уд. в 0,7085. 2) Этил-изоамил, СН3(СН2)3СН(СН3)2, получается из нефти и при электролизе смеси уксуснокисл. и энантовокис-лого калия. Кип. при 90°,5, уд. в 0,6819.
Гептархия (греч.), семивластие, в частности обозначение периода английской истории от 449 до 828 г., когда согласно преданию, ныне опровергнутому, Англия распадалась на 7 королевств.
Гера, греко-италийская богиня, дочь Кроноса и Реи. старшая сестра и супруга Зевса. Опа была воспитана в доме Океана и Тефии, затем триста лет жила тайно в браке с Зевсом, пока он не объявил ее своей супругою и царицей богов. Сделавшись царицей неба и богов, Г., однако, не делит с Зевсом власти, но ей Зевс сообщает свои планы и слушает ее более всех богов и богинь. На почве ревности Г.иизменъЗевса
Heraklit’s Lehre und den Ueberresten seines Werkes“ (1887), а также в историях древней философии Целлера, Вин-дельбанда, Гомперда и др. Н. Ланге.
Гераклий, ими. визант., см. Ираклий.
Геракл, см. Геркулес.
Геральдика, или гербоведение, наука о гербах, система правил составления гербов и пользования ими, как специальное знание, возникла в среде герольдов. Первые опыты изложения Г. были даны еще в средние века герольдами франции. Правда, содержание этих научных опытов ограничивалось простым перечнем существующих гербов, но они важны постольку, поскольку дают законченную геральдическую терминологию. Последующия работы по Г. значительно расширяют ея объём, вводя в ея содержание, кроме перечня особенностей гербов и правил их составления, еще символическое толкование их (Menesirier,L’art du blason“, XVII ст.). С дальнейшим накоплением геральдического материала, когда гербы вошли почти в повседневный обиход их обладателей и нашли себе место на печатях, монетах, на предметах домашней обстановки, на произведениях архитектуры и скульптурных памятниках, Г. привлекает к себе новых исследователей, которые прилагают к разработке богатого геральдического материала новые методы. Г. перестает быть монопольным знанием герольдов и входит в университетские курсы преподавания. Это направление в Г. создается гл. обр. в Германии. Основателем его является богослов и геральдист XVII ст. Philipp Spener („Insignium theoria, seu operis heraldici pars generalis“). Он порывает с символическим толкованием гербов и применяет к Г. исторический метод исследования. В настоящее время Г. поставлена в должную связь с историческими науками, как дисциплина, изучающая определенный отдел истории культуры (Mayer в Mayerfels, „Heraldisehes ABC-Buch“, 1857; в Hefner, „Handbuch der Heraldik“, 1861). Г.—дисциплина по преимущ. западно-европейская. Помимо сборников гербов, Западная Европа имеет обширную литературу по Г. Россия, приняв почти целиком выводы западноевропейской Г., пока не дала самостоятельных изысканий в области Г. Не считая робких попыток изложения русской Г., сделанных при Алексее Михайловиче Лаврентием Куре-личем „О родословии Российских великих князей и государей“ и Арта-моном Матвеевым „Всех великих князей московских и всея России са-модержавцев персоны, и титла, и печати“, единственной работой в этой области остается прекрасный труд Лакиера, „Русская Г.“ (1855). См.ИО. Арсеньев, „Г.“ (1908). В. Черепнин.
Геральд, небольшой скалистый о-в в Сев. Ледовит. океане, вблизи Врангелевой земли. Откр. в 1849 г., необитаем, богат морскими птицами (чайки, гагары и т. и.).
Гераниевия, Geraniaceae, сем. двудольных растений из нор. журавель-никовых, травы, в более теплых областях кустарнички, с очередными или супротивными, простыми, черешковыми листьями с небольшими прилистниками; листья иногда с железистыми волосками, выделяющими ароматическое масло. Цветки правильные (у Pelargonium—зигоморфные), с полными пятичленными кругами, лепестки окрашены в различные оттенки карминно-красного цвета, тычинок 5 или 10, пестик с глубоко 5-ти-желобчатой завязью, б. ч. пятигнездною, с 2 се-мянопочками в каждом гнезде. Плодолистики вытянуты вверх, образуя 1 столбик, и на верхушке опять отделяются, образуя рыльца; при созревании они отделяются друг от друга и от средней колонки, изгибаются и закручиваются винтом к своей верхней части. Плодолистики иногда остаются замкнутыми, и тогда образуется 5-ти-раздел. плод, у которого частичные отделяющиеся плодики сами ввинчиваются в землю помощью клювика (например, у Erodium); иногда же плод— пятистворчатая коробочка—раскрывается по перегородкам, и семена могут освобождаться, причем закручивание происходит нередко с такой силой, что семена разбрасываются далеко в стороны. Насчитывается до 470 видов, распространенных гл. обр. в ю. Африке. У нас виды герани, Geranium,
и аистника(сли.),Егоситт; из декоративных и обыкновенных комнатных—пеларгониум (Pelargonium). М. Н.
Герань (журавельник), Geranium, род растений из сем. гераниевых, одно-и многолетния травы, б. ч. с пальчатораздельными, реже перистыми листьями; цветоносы 1—2-цветковые, цветы правильные, красные, синие или фиолетовые, реже белые; тычинки, в числе 10, при основании однобратственные, чередующияся с лепестками, больше остальных и при основании с медоносной железкой, все (за исключ. G. pusillum) с пыльниками; плодниковые столбики под конец загибаются дугою или кольцом. Крупноцветковые виды протер-андричны, мелкоцветковые приспособлены к самоопылению.Многие виды— весьма обыкновенные у нас травы, цветущия с мая до сентября. Таковы: G. Robertianum с розовыми цветками с 3 белыми жилками и овальной чашечкой, встречается по топким тенистым местам; G. sanguineum, Г. кровянокрасная, с яркопурпуровыми цветами и широковетвистым стеблем, самое обыкновенное растение в черноземн. полосе, по кустарн., лесам и склонам, севернее гл. обр. по известнякам. G. pratense с синими или синефиолетовыми (реже белыми) цветами, чашечка нередко красная, очепь обыкновенна по лугам, полянам, на межах и прочие G. silva-ticum—по лесам, весьма разнообразна по окраске и величине цветов и мн. др. М. Н.
Герардеска (Gherardesea), Уголино делла, граф Доноратико, пизанский вельможа, из старинного, искони ги-беллинского рода; подобно многим другим гибеллинским нобилям в ГИизе, перешел на сторону демократической гвельфской партии, и за это был изгнан из города, но в 1278 г., с помощью Флоренции, вернулся и был восстановлен в своих правах. В 1284 г. принимал участие в морском сражении с Генуей при Мелории, уничтожившем торговую мощь Пизы, и был обвинен в измене, но благодаря поддержке Флоренции и Лукки был возведен (1285) в должность главного капитана города.
Его правление было временем окончательного упадка Пизы. Несколько важных крепостей были уступлены Лукке, Флоренции даны огромные торговия льготы; с политич. противниками своими Г. расправлялся беспощадно. Тогда в июле 1288 г. против него был составлен заговор с вождем аристократ. партии архиеп. Руджьеро во главе. Г. был разбит в уличном бою, взят в плен с двумя сыновьями и двумя внуками и замуравлен в башню Гуаланди. Там все они умерли от голода. Эпизод, как известно, составляет содержание одной из песен „Ада“ Данте, все симпатии которого на стороне Уголино, потому что он был другом Флоренции. А. Дж.
Герарди (Gherardi), Эвариста, итальянский актер, издал в 1700 г. под заглавием:,Le theatre Italien de Gherardi ou le Receuil General de toutes les Comedies et Scenes Franpaises jouees par lescomediens italien s du Roy pendant tout le temps qu’ils ont ete au Service“, сборник пьес, игранных в ftapn-же актерами Commedie dellarte, представляющий один из главных источников для истории импровизированной комедии в Париже. Этот сборник оказал большое влияние на датского драматурга Гольберга. Некоторые пьесы были вновь поставлены в Париже в театрах de la Gaite и в Одеоне в 1887 г., в 1899 и так далее Об этом сборнике см. О. Шипдиег, „Die Comoedie Italienne in Paris nach der Sammlung von Gherardi“. В. Фр.
Герарди да Прато, Джьованни, итал. писатель конца XIV и начала XV в., публично объяснял Данте во флоренции в 1417—25 г., в эпоху развивавшагося гуманизма был сторонником Данте (в подражание „Бож. Ком.“ написал аллегор. поэму „Filo-тёпа“), а также Боккачьо, „Декамеронъ“ которого послужил ему прообразом для (неоконченнаго) романа, озаглавленного его издателем Александром Веселовским: „II Paradiso degli Alberti“. Представляя важный документ для характеристики переходного момента от среднев. мировоззрения к Возрождению, роман Г. служит в формально-литерат. отиышении связующим звеном между новеллой XIV в и отвлеченными беседами (dialoghi) более позднего Ренессанса. См. А. Н. Веселовский, „Вилла Альберти1“, перепеч. в III томе его соч. В. Фр.
Герарди дель Теста (Gherardi del Testa), Томмазо, итал. драматург, родился в 1815 г., умер в 1881 г., автор многочисленных комедий, пользовавшихся, особенно в 60 г., большим успехом сначала в Тоскане, потом во всей Италии; лучшия из них: „La са-rita pelosa“, „II vero blasone“, „Le coscienze elastiche“, „La vita nuova“ и ея продолжение „Casa Palchetti e vita nuovissima“. Некоторые пьесы написаны им специально для артистки Ристори („II regno di Adelaide). Хотя Г. все время боролся против господствовавшего тогда на итал. сцене французского влияния, некоторые его пьесы написаны под несомненным влиянием французов („Gustavo III, re di Svezia“, „Le due Sorelle и др.). Об общественной тенденции творчества Г. дает наглядное представление его популярнейшая комедия „II vero blasone“, где графиня, дочь фабриканта, отказывает своему легкомысленному кузену-аристократу и выходит замуж за плебея, директора фабрики, которого идеальный кавалер делает наследником своих богатств, и где рабочие, устроившие под влиянием „подстрекателей“ стачку, потом раскаиваются в своем преступлении и снова „детски“ доверчиво подчиняются „отцу“—хозяину. Лучшим достоинством комедий Г. является их легкий, бойкий диалог, естественный, как разговорная речь. В. Фр.
Герардсберген (Geeraards-bergen), см. Граммоп.
Герард (Gerard), или Геральд, основатель ордена Иоанна Иерусалимского, см. иоинниты.
Герард, Владимир Николаевич, выдающийся представитель русской адвокатуры, родился в 1839 г., кончил курс в Имп. училище правоведения, работал в юридической комиссии, подготовлявшей введение Судебных Уставов в губернии Царства Польского, в 1866 г. был назначен членом новооткрытого тогда петерб.
окружного суда. Однако, уже в 1868 г. переменил государственную службу на адвокатуру; умер в 1903 г. Ведя защиту во многих громких уголовных процессах, Г. сумел своими искренними и убедительными речами снискать себе большую популярность.
Герард, Николай Николаевич, см. биограф. указат. член. Государств. Совета (в приложении к сл. Гос. Cue.).
Герасимов Дмитрий гравер на меди род в 17з6 г
Герасимов, Дмитрий, гравер на меди, родился в 1736 г., в 1749 г. взять в рисовальную палату, в 1753 г. переведен в грыдоровальный департамент, с 1757 г. находился в классе гравера Шмидта, позднее жил два года в Париже на казенный счет и приобрел прекрасную манеру гравировать с черезвычайной легкостью небольшия вещи. Умер Г. от меланхолии в 1784 или 1785 г.—Г. работал мелким отчетливым и блестящим резцом. Лучшее произведение Г. — портрет фельдм. Салтыкова. Н. Т.
Герат, главн. город одноим. пограничной с Персией пров. Афганистана, около 50.000 жит., множество караван-сараев, лавок, торговых складов, мечетей с минаретами, оживленный базар; главн. предметы местн. торговли: каракуль, розовое масло, клинки и ковры. Г. расположен в живописи, долине реки И’ери-Руд, на выс. 808 м. над ур. моря, среди богатых садами, виноградниками и развалинами окрестностей; город сильно укреплен англичанами, как важный стратегич. пункт и главн. центр транзитной торговли Афганистана, рас-полож. всего в 150 км. от русской крепости Кушки.
Гербарий, Herbarium, букв. травник, собрание засушенных и сохраняемых между листами бумаги растений. Под этим именем раньше были известны книги с рисунками растений, и только потом, вероятно, после Линнея, слово „Г.“ получило свое настоящее значение. Собирать и засушивать растения стали давно, сначала с лечебными целями, а потом, с XVI ст., и с собственно ботаническими целями, для изучения флоры данной местности. В настоящее время все университетские ботанические музеи обладают более или менее значитель-
1213
ным числом Г. Импфр. ботанический сад в СПб. является, после ботан. сада в Kew близ Лондона, богатейшим в этом отношении. В нем особенно замечательны: общий Г., Н. generale, содержащий около 1.000 связок более, чем с 100 т. видов, и русский Г., Н. rossicum, заключающий в себе почти все виды растений, найденные в Европ. и азиатской России (до 20 т. видов). Полные и хорошо составленные Г. являются незаменимым пособием при определении растений, изучении нового материала и установке новых видов. Составление Г. {гербаризация) заключает в себе след. операции: Г) собирание растений на экскурсиях, 2) сушка и определение собранного материала, 3) распределение высушенных растений по системе и 4) составление списков и каталогов растений, находящихся в Г. На непродолжительных экскурсиях растения можно носить в руке, но при отдаленных необходимо иметь или т. наз. ботанизирку, т. е. овальную коробку из жести, картона, обтянутого клеенкой (обыкн. размер 12 вер. длины), с крышкою на боку и ремнем для ношения через плечо, или клеенчатую четырехугольную сумку с клапаном, а для грибов коробку с перегородками. Кроме того нужны: папка из плотного картона, наполненная листами газетной бумаги, лопаточка для выкапывания растений, нож для срезывания веток, лупа, этикетки для записей и записная книжка. Собираемия растения должны, но возможности, иметь все свои части, т. е. стебель, корень, листья, цветы и плоды; от двудомных растений, кроме того, следует брать отдельно мужские и женские особи; паразитные грибы собираются с теми растениями или частями растений, на которых они паразитируют, а лишайники с частью субстрата, на котором они сидят. Весьма полезно иметь каждое растение в нескольких экземплярах. Для полной характеристики флоры должно растения брать во всевозможных местах (на лугах, оврагах, прудах, около жилищ и так далее), обозначая на этикетках местонахождение и время сбораего. Г., собранные, так сказать, наездом в данной местности, имеют сравнительно небольшую ценность, хотя бы они состояли изи прекрасных экземпляров, так как они могут характеризовать данную область только отчасти, в известное время года. Гораздо более валены Г., составленные лицами, которые живут долго в данной местности к имеют возможность систематически изучать ее в ботанич. отношении в различное время года и при различных условиях, могут определить связь растений друг с другом, с животными и с почвой, выяснить влияние на них различных внешних условий: температуры, влажности, близости человека и так далее Такие полные Г., сопровождаемые обстоятельными пояснениями, могут иметь крупное научное значение и разъяснить иногда многие важные вопросы ботанической географии. Собранные растения перед сушкой, по возможности, должны быть определены. Удобнее всего сушить растения в непроклеенной бумаге, под небольшим прессом, причем вместе с растением кладется этикетка. От тщательности сушки зависит и достоинство Г.: недостаточно засушенные растения легко портятся и загнивают. Мясистые грибы б. ч. не сушатся, а консервируются в различных жидкостях, например, в спирту, в насыщенном растворе поваренной соли или квасцов и прочие; можно приготовить из них сухие препараты, вычищая изнутри всю мякоть гриба и засушивая его так. обр. в бумаге; споры гриба собирают, подкладывая под шляпку гриба бумагу, на которой оне оседают в виде пыли и потом закрепляются лаком. Окончательно засушенные растения перекладывают в листы бумаги, каждый вид (по возможности в нескол. экземплярах) в отдельный лист, или прямо или приклеивая их полосками бумаги. Лисп бумаги, заполненный растениями одного вида, наз. гер-барным экземпляром (единица меры Г.; например, герб. экземплярами производится обмен). В каждом листе должна находиться этикетка с следующими данными: семейство, к комыслить метафизические „реалы“. Так решаются для Г. смущающия его внутренния противоречия единства вещи и множественности ея свойств, изменений в вещах и неизменности полноты бытия, как целого. В понятии „я“ внутреннее противоречие состоит также в несовместимости единства души, выражающагося в единстве самосознания, с множественностью ея состояний, или „представлений“. Г. решает эту трудность так: все „реалы“ обладают некоторыми внутренними состояниями, до известной степени аналогичными нашим представлениям; такие состояния присущи и нашей душе, но сначала лишь в скрытом виде; когда же на душу начнут оказывать воздействие и как бы давление другие „реалы“, душа, отстаивая устойчивость своего бытия, оказывает им противодействие в форме „представлений“. Так. обр., представления суть как бы акты самосохранения душевной субстанции; или, применяя другой образ, остальные „реалы“ высекают в душе представления, как сталь искры в кремне. Как видно, Г. в своей метафизике совмещает лейбницианство с некоторыми древними учениями (особенно элейцев). В психологии Г.—1) решительный интеллектуалист: вседушевные состояния суть в основе своей „представления“: чувствования и желания суть лишь частные случаи взаимодействия представлений; 2) вместе с тем Г.—горячий противник теории психических способностей, как отдельных сил души: в душе происходит лишь один процесс— взаимодействия представлений, а потому и основная способность одна: способность представления; 3) самое взаимодействие представлений Г. понимает динамически: вся система их представляет некоторое связное целое, каждая точка которого оказывает давление на каждую другую, и реальный процесс душевной жизни, поднятие представлений над „порогом сознания“ (понятие, также введенное в психологию Г-м), есть равнодействующая всех этих частичных напряжений (этой своей чертой психология Г. выгодно отличается от психологии
„ассоциационной“); 4) вместе с тем Г. удачно подчеркивает значение накопленного опыта, прошлого души —для ея дальнейшей жизни; каждый момент психического процесса(Г. называетъэти моменты апперцепциями см.)он понимает как взаимодействие двух масс представлений: образовавшейся до данного момента и притекающей в данный момент, причем организующая роль принадлежит первой, которая поэтому и называется апперципирующей в отличие от второй, апперципируемой;
5) наконец, Г.—решительный детерминист: психологическая свободаволи есть не что иное, как упроченное господство сильнейших масс представлений над отдельными состояниями; поэтому ученио Канта о трансцендентальной свободе ошибочно и в то же время противоречит запросам практической жизни, так как оно уничтожает возможность образования характера. В свою „механику представлений“ Г. вводит множество математических выкладок, пытаясь точно учесть величины взаимных „задержекъ“, „стеснений“ представлений, а также формы их „слияний“, „массъ“, „рядовъ“, „сведений“ (Wolbungen), „заострений“ (Zuspitzun-gen) и так далее До известной степени прав Рибо, говоря, что, пытаясь основать психологию на опыте, метафизике и математике, Г. взял „очень мало из опыта, несколько больше из метафизики и почти все из математики“—Третья часть философии Г.— „эстетика“—основывается у него не на каком-либо метафизическом принципе, общем с его теоретической фи-лисофией, а независимо от последней— на психологическом факте оценки, одобрения и неодобрения. Эстетика распадается на искусство (деятельность, заниматься или не заниматься которой зависит от желания каждого отдельного лица) и мораль и право (область, с необходимостью составляющая объект деятельности всех людей). В эстетике Г. „формалистъ“ (прекрасное основано на форме отношений между элементами: основной тип прекраснаго—музыкальная гармония).В морали Г. выставляет 5„идей“, не выводимых ни друг из друга.
ни из него-либо высшого, а опять основанных на суждениях оценки волевых отношений; это идеи: внутренней свободы, совершенства, благожелательности, права и справедливости (или воздаяния). На этих идеях основаны производные или общественные идеи: одухотворенного общества (высшая из этих идей), культурной системы, системы управления, правового общества и системы возмездия. Основа религиозной веры, по Г., созерцание целесообразностей в природе; создается вера моральной потребностью.
Особенно велико значение Г. в педагогике. Прежде всего, Г. указал на то, что педагогика должна основываться, с одной стороны, на этике (вопрос о целях воспитания), с другой—на психологии, и осветил некоторые пункты метода этой дисциплины. Далее, он выдвинул значение в воспитании процесса„апперцепции “ и тем подчеркнул значение процесса усвоения и активной переработки, а также заставил считаться с индивидуальностью и личностью воспитываемого и его подготовкой („апперципирующая11 масса представлений). Цель воспитания—добродетель; главное средство воспитания расширение интеллекта, развитие всестороннего интереса. „Нет обучения без воспитания; нет воспитания без обучения11, всякое обучение имеет воспитательное значение. Воспитание проходит три стадии: управление (внешняя дисциплина), обучение и нравственное развитие (Zucht). Интерес бывает либо к занятиям, даваемым опытом, либо к чувствам, внушаемым общением с людьми (эмпирический и симпатический); высшия стадии перваго: спекулятивный и эстетический интересы, высшия стадии второго: интересы социальный и религиозный. Обучение должно проходить четыре „формальных ступени11: на первой отчетливо усваиваются элементы (ступень ясности), на второй элементы связываются в группы (ассоциация), на третьей дается понимание целого (система), на последней разумно применяется на практике усвоенное (метод). Обучение имеет предметом вещи (произведения природы и искусства, люди, семья, государство и так далее> формы (математика, основные понятия метафизики) и знаки (языки). И Г. рассматривает с педагогической точки зрения отдельные учебные предметы. Г. сторонник классического образования.—Г. имел в Германии, а особенно в Чехии, очень большое число последователей, частью весьма выдающихся. См. Fr. А. Lange, „Grundlegung der mathematischen Psy-chologie. Ein Yersuch zur Nachweisung derfundamentalen Fehler bei H. und Dro-bisch11; Be Garmo, „Н. and the Herbar-tians“ (1896); 0. Flugel, „Н. ’s Lehren und Leben1 (1907); B. Groce, „La filo-sofia di H.“ (1908); Mauxion, „L’educa-tion par Finstruction et les theories pe-dagogiques de H.“ (1901); L. Gockler, „La pedagogie de H.“ (1905); P. Dietc-ring, „Die H.-’sche Padagogik vom Standpunkte moderner Erziehungsbe-strebungen11 (1908); L. GrecLaro, „La pedagogia di R.“ (3 ed., 1909). Резко критиковали философию Г. А. Тренде-ленбург, а педагогику—Фр. Диттес. М. Троицкий, „Немецкая психология в текущем столетии“ (2 изд., 1883, том II); Н. Ланге, „История нравственных идей XIX века11 (1888); А. Нечаев, „Психология Г.“ (Образование, 1895, №N° 1—3); Вл. Ивановский, „К вопросу об апперцепции11 (Вопр. фил. и псих., янв., 1897); Др. Уфер, „Краткий очерк педагогики Г.“ (1898); В. Алексеев, „Плоды воспитательного обучения в духе Коменского, Песталоцци и Г.11 (1906); А. Муяыченко, „I. Фр. Г. и его школа11 (в VII томе „Педагогической Академии11, М. 1911); Фр. Ге, „История образования и воспитания11 (1912).
В. Ивановский.
Гфрб ель, Николай Васильевич, поэт, 1827—1883 (биогр. и библиогр. см. XI. 628). — Г. не имел большого самостоятельного дарования, но, необыкновенно легко владея стихом, своими переводами приобрел себе имя и оставил заметный след в русской литературе. Главная заслуга его в том, что по его изданиям, которые долгое время оставались единственными, русское общество получило возможность ознакомиться с крупнейшими западными поэтами во всем объёме их таланта.
Гербель-Этбах, Карл, нем. поэт и писатель о России, родился в 1837 г. в Калуге, написал: „Entwicklung d. Nihilismus“ (1879, под псевдон. Nik. Karlowitsch), „Attentatsperiode in Rus-sland“ (1881), „Russ. Sektierer“ (1883), „Artaxerxes“ (1891) и др.
Герберт, папа, см. Сильвестр II.
Герберт (Herbert), Эдуард, лорд Чербери, основатель англ, рационалистического деизма, родился в 1583 г., учился в Оксфорде, жил долго (частью в кач. посланника) во франции, с 1625 г. жил вдали от дел; когда вспыхнула английск. революция, стал на сторону парламента, умер в 1648 г.—Из его произведений главное,De veritate prout distinguitur a revelatione, a verisimili, a possibili et a falso“ (1624); другия лишь развивают основ. положения первого.— В своем учении Г. исходит из оппозиции бэконовскому эмпиризму, стараясь противопоставить чувственному критерию общие инстинктивно врожденные людям принципы (noti-tiae communes), проявляющиеся в общем для всех согласии. Бго выводы—знаменития пять аксиом деизма:
1) существует Верховное Существо;
2) мы обязаны почитать его; 3) почитание это сводится, гл. обр., к добродетели и благочестию; 4) нам вро-ждено отвращение к преступлению и сознание возможности очищения от греха путем раскаяния; 5) от доброты и справедливости Божьей надо ждать наград как на земле, так и в будущей жизни.
Г ерберштейн, Сигизмунд, барон, потомок старинной дворянской фамилии, имевшей оседлость в Штирии, родился в 1486 г., в замке Виппах в Крайне; в детстве обучался наряду с немецким туземному, славянскому (виндскому) языку; по окончании венского универс. (1502) начал служебную деятельность. В 1517 г. Г. в качестве имперского посла совершил первое путешествие в Россию к в кн. Василию Ивановичу, ведшему тогда войну с Сигизмундом I польским: имп. Максимилиан, в 1512 г. сам склонявший Василия к союзу против Польши, желал теперь содействовать примирению обоих врагов в видахобразования общого союза против Турции, о чем хлопотал и папа Лев X. Посольство 18 апр. 1517 г. достигло Москвы, где Г. пробыл до 22 ноября того же года, добился присылки в Москву польско-литовских послов для мирных переговоров, после того как вел. князь отклонил предложение о пограничном съезде послов с обеих сторон,—но не мог добиться заключения мира, как ни пытался уговорить Василия к обратной уступке Литве завоеванного Смоленска. Несмотря на неуспех своей миссии, Г. сумел установить дружественные отношения между Москвою и империею; его действиями остались одинаково довольны как император, так и король Сигизмунд; Василий отпустил его с почетом. По смерти имп. Максимилиана (1519), Г. в составе посольства от наследственных Габсбургских земель отправился к его внуку Карлу (V) в Испанию. Между тем московско-литовская война в 1522 г. закончилась пятилетним перемирием, во время которого старались о заключении вечного мира; в 1525 г. к Карлу V в Мадрид приехали русские послы с предложением посредничества, и 12 янв. 1526 г. из Вены отправилось посольство в Москву,—граф Нугароли от имени императора и Г. от имени эрцгерцога Фердинанда; последний предписал тщательно собирать сведения о религии и обрядах москвитян. В Кракове король примял послов очень холодно, отверг мысль об окончательном отказе от Смоленска, но в конце концов согласился на посредничество. 26 апр. Г. вторично прибыл в Москву, куда затем приехали и королевские послы, а также легат от папы Климента УП. Вопрос о Смоленске был неодолимым препятствием к заключению мира, и пришлось удовольствоваться продлением перемирия на 6 лет. 11 ноября 1526 г. имперские послы выехали из Москвы. Дальнейшая деятельность Г. сосредоточивается около восточных дел Габсбургской монархии, вынужденной вести тяжелую борьбу с султаном Солиманом. Как сведущий и опытный дипломат, Г. в течение четверти века неоднократнополучал миссии в Польшу, Венгрию, в лагерь султана (в 1541 г.). В последние годы жизни Г., уже важный сановник,—барон с 1532 г.,—занимался обработкою и изданием своих сочинений. Ум. в Вене в 1566 г. Человек бывалый, с обширным кругозором, наблюдательный и любознательный, энциклопедически образованный, Г. много писал, и, помимо разных писем и донесений, из его трудов наиболее важны автобиография и „Записки о Московии“ („Rerum MoscoviticarumCommentarii“, 1549), переведенные самим же автором с латинского на немецкий язык и выдержавшия уже в течение XVI в 13 изданий (6 на лат. яз., 5 на нем., 2 на итал.); отрывки из этого сочинения переведены также на голландский и и чешский языки, и оно было известно многим позднейшим авторам, писавшим о России,—Поссевину, Пет-рею, Олеарию, Майербергу,—и служило источником для разных космографий XVI—XVII вв. На русск. яз. „Записки“ переведены в первый раз в 1748 г. (в рукоп.) переводчиком академии наук Кондратовичем, затем было еще три перевода, последний Анонпмова (Спб. 1866), первоначально в „Сборн. Студ. Пет. Унив. I, II, с текстом и составною статьей о Г. (смотрите Зап. ймп. Ак. Н., т. IV, статьи Еилярского и Прахова). В своей книге Г. рассказывает историю России от самого начала, затем описывает внутреннее состояние государства (религия, брак, положение женщины, войско, одежда, законы, торговля, обычаи и прочие) и, наконец, дает обстоятельное географическое и топографическое описание страны с массою сведений исторических и этнографических о племенах, населяющих Россию, с перечнем населенных мест, известных автору, и с приложением карт. Г. широко пользуется предшествущей ему литературою по всеобщей географии и истории, хорошо знаком и с русскими письменными памятниками и актами (некоторые в извлечении переведены им). По богатству сведений, основательности и беспристрастию, сочинение Г. занимает одно из самых видных мест междуиностранными сочинениями о России XVI—XVII вв. Особенно важны и интересны сведения Записок об эпохе Василия III, основанные на личных наблюдениях автора и на показаниях русских современников, иногда односторонних, но всегда любопытных. Г. обыкновенно указывает свои источники, вообще точен и добросовестен, осторожен в случаях сомнительных и сдержан в тоне изложения. См. Замысловский, „Г. и его историкогеографические известия о России“ (Спб. 1884). И. Аммон.
Гербер, Иоганн Густав, бранденбуржец; в 1710 г. вступил на службу к Петру I, перевез из Москвы через Астрахань артиллерию в прикаспийские области; после взятия Дербента был русским коммиссаром в Грузии; изучил прикаспийские области и составил их карту (нзд. Ак. наук в 1736 г.), в 1731 г. стоял во главе неудавшейся секретной миссии в Бухару и Хиву, умер в 1734 г.
Гербер (Gerber), Карл Фридрих, знам. нем. юрист, родился в 1823 г., учился в Гейдельберге, был проф. в Эрлангене, Тюбингене, Иене и Лейпциге; в 1857—61 гг. был пред-ставит. Вюртемберга на Нюрнбергской и Гамбургской конференциях для выработки общенем. торгового законодательства, затем членом Сев. Герм. рейхстага; в 1871 г. стал во главе мин. исповед. в Саксонии, а в 1891 г. был мин.-президентом там же; умер в 1891 г.—Из его сочинений особ. важны: „Das wissensch. Prinzip d. ge-meinen deutsch. Privatrechts“ (1846); „System d. deutsch. Privatrechts“(1848— 49,17 изд. 1895)и „Grundziige eines Systems d. deutsch. Staatsrechts“ (1865).— В соч. Г. впервые появляется реакция против историч. школы в праве; вопреки теоретическ. воззрениям Г., последователя Савиньи, его труды раскрыли значение заимствований в праве и роль римских элементов в истории развития нем. права.
Гербер (Gerber), Эрнст Людвиг, родился в 1746 г., органист в Зондерс-гаузене. Известность приобрел своим замечательным „Historischbio-graphisches Lexicon der Tonkiinstler“
тина (1843—44, 12 тт.). В революцию 1848 г. он вторгся в Баден во главе колонны немецких эмигрантов, но был отбит вюртембергским отрядом 27 апр. 1848 г. у Шопфгейма и едва избежал плена. Остаток жизни он провел в Париже, Цюрихе и Лихтентале (у Баден-Бадена), изредка печатая стихи и занимаясь переводом Шекспира. После его смерти вышли его „Neue Gedichte“ (1877). Ум. в 1875 г. А. Дж.
Гервея острова (Hervey Islands), см. Буков архипелаг.
Гервинус (Gervinus), Георг Готфрид, нем. историк, родился в 1805 г., был приказчиком в книжн. магазине, а затем находился в ученьи при каком-то мануфактурном деле, урывками занимался наукой и, накопив достаточно сведений, поступил в 1825 г. в гиссенский университет, а в след. году переехал в Гейдельберг, где изучал историю под руков. знам. Шлоссера и в 1830 г. сделался приват-доцентом. Широкое историческое образование помогло ему дать совершенно новое освещение литературным вопросам, когда он взялся за свою „Gesch. der deutsch. National-1иИегаииг“(1835--42, впоследствиизагла-вие было изменено в „Gesch. d. deutsch. Dichtung“); эстетическая критика отступает у него на задний план, и литература рассматривается в связи с общими политическими и культурными условиями. По рекоменд. Даль-мана, Г. был приглашен в 1835 г. на кафедру ист. и литер. в Геттинген, но уже в 1837 г. был смещен и выслан вместе с 6 другими профессорами, за протест против отмены ганноверской конституции. В 1844 г. он снова получил профессуру в Гейдельберге. Вскоре он выступил в качестве публициста и в 1847 г. основал вместе с Гейссером и Мати газету „Deutsche Zeitung“, выходившую первый год под его редакцией. В нач. 1848 г. ганзейские города избрали Г. своим уполномоченным в Союзный Сейм, а неск. месяцев спустя он уже заседал в числе депутатов прусской Саксонии в Нац. Собрании; но ни тут, ни там он не принимал деятельного участия, несочувствуя ходу дел. В авг. 1848 г. Г. совсем вышел из парламента, некот. время писал еще усердно в „Deutsche Zeitung“, высказываясь за реформу центральной власти Союза и за независимость Германии от Австрии, но после распущения Франкфуртского парламента оставил политику и занялся Шекспиром, драмы которого он подверг тщательному исто-рич. и психологич. анализу („Shakespeare“, 1849—52, 4 тт.; есть рус. пер.). В 1853 г. вышло его „Einleitung in die Gesch. d. XIX Jahrhunderts“ (есть рус. пер.), немедленно запрещенное за свободомыслие, а в 1854 г. вышел 1 том его „Gesch. d. XIX Jahrh.“ (1856—66, 8 тт.; на рус. яз. пер. не весь). Задача этого капитального труда, теперь сильно устаревшего и по точкам зрения, и по материалу, заключается в попытке изобразить с точки зрения конституционного либерализма стремление народов к свободе и самоуправлению. Победа Пруссии в 1866 г. осуществила национ. идеалы Г., но таким путем, которого он никак не мог признать правильным; особенно возмущали его насиль-ствен. террит. присоединения Пруссии, что он и излил в предисловии (1870) к новому изданию „Gesch. d. deutsch. Dichtung“ и в двух памфлетах („Denkschrift zum Frieden an das preussische Konigshaus“ и „Selbst-kritik“), изданных после его смерти в „Hinterlassene Schriiten“ (1872). Последним крупным трудом его была книга „Handel und Shakespeare“ (1868). След. упомянуть еще некролог Шлоссера (1861), где Г. высказывает свои взгляды на задачи историка. Ум. в 1871 г. В 1893 г. издана его автобиография (есть рус. пер.), с приложением написанного в 1837 г. этюда „Grundziige der Historik“. Ср. Lehmann,G.“; Gosche,G.“; J. Dorfel,G. als historischer Denker“ (1904). А. Дж.
Гергардинисты, см. Братья общей жизни (VI, 490/1).
Гергардт (Gerhardt), Павел, духовный поэт ХВП в Германии, родился в 1607 г., занимал различи, духовные должности в протестантской Германии, умер в 1676 г.—В числе его 120 пе-сен находятся некоторые из гимнов,
вошедших во все протестантские молитвенники („Befehl du deine Wege“ и др.); это—лучшие образцы не только протестантской церковной поэзии, но и всей немецкой поэзии XVII в.
Гергач (арм., копье), арм. монастырь в Эриванск. губ. и уезде; собор построен в 1214 г. Название получил от того, что в нем хранилось перенесенное ныне в Эчмиад-зинский мон. копье, которым будто бы был прободен бок у Христа.
Гергебиль (Хергеб), с. в гунибск. округе, в Дагестане, 1.428 жит.; здесь находился аул Г., прославившийся геройской защитой Шамиля против русс. войск; взят в июле 1848 г.
Гергей (Gorgei), Артур, герой мадьярского восстания 1848—49 гг., родился в 1818 г. в Топорче, в старинной протестантской семье, службу начал в венгерской дворянской лейб-гвардии в Вене, где в то же время слушал лекции в академии, в 1845 г. вышел в отставку и посвятил себя занятиям химией; когда вспыхнуло восстание, он предложил временному правительству свои услуги, быстро выдвинулся, уже в ноябре 1848 г. был назначен командующим дунайской армией, в марте 1849 г.—главнокомандующим, а в апреле также воен. министром. Блестяще начатая им борьба кончилась, однако, вследствие появления подавляющих по численности русских войск, сдачей у Ви-лагоша 13 авг. 1849 г.; за 2 дня до капитуляции Г. был назначен диктатором вместо Кошута (смотрите Венгрия, IX, 400/04). Г. был интернирован затем в Клагенфурте и только в 1868 г. получил возможность вернуться на родину. Обвинения Г. в измене не имеют основания, и его патриотизм торжественно был засвидетельствован в 1885 г. его прежними боевыми товарищами.
Герде (Horde), фабричн. город в Вестфалии, по р. Эмшер, 32.785 жит., каменноуг. копи, крупные железодел. и чугуно-лит. заводы.